Esercizio sul Principio di induzione
Salve,
Vorrei che qualcuno mi aiutasse a svolgere l'esercizio e mi corregga dove sbaglio, dal momento che, non ho la piena compressione di questo argomento.
La traccia mi chiede di dimostrare che $ AA n in NN $ sia che $0+1^3+2^3+3^3...n^3$= $((n(n+1))/2)^2$
Dimostrazione per induzione
BASE
p(0): $0$=$((0(0+1))/2)^2$ che fà proprio 0
p(1): $0+1^3$=$((0+1^3(0+1^3+1))/2)^2$ che fà proprio 1
p(2): $0+1^3+2^3$=$((0+1^3+2^3(0+1^3+2^3+1))/2)^2$ che dovrebbe fare 9 ma fà $((81)/(2))^2$ =$(6561)/(4)$
Basterebbe verificare solo la p(0) ma ho voluto andare avanti e non mi trovo più. Cosa ho sbagliato ??
Vorrei che qualcuno mi aiutasse a svolgere l'esercizio e mi corregga dove sbaglio, dal momento che, non ho la piena compressione di questo argomento.
La traccia mi chiede di dimostrare che $ AA n in NN $ sia che $0+1^3+2^3+3^3...n^3$= $((n(n+1))/2)^2$
Dimostrazione per induzione
BASE
p(0): $0$=$((0(0+1))/2)^2$ che fà proprio 0
p(1): $0+1^3$=$((0+1^3(0+1^3+1))/2)^2$ che fà proprio 1
p(2): $0+1^3+2^3$=$((0+1^3+2^3(0+1^3+2^3+1))/2)^2$ che dovrebbe fare 9 ma fà $((81)/(2))^2$ =$(6561)/(4)$
Basterebbe verificare solo la p(0) ma ho voluto andare avanti e non mi trovo più. Cosa ho sbagliato ??
Risposte
Non hai applicato correttamente la formula generale nei casi p(1) e p(2). Confronta con p(0), che invece è corretta.
Ciao Luca69 grazie per la risposta,
Provo a fare un'altra prova, forse ho capito,
p(0): $0$=$((0(0+1))/2)^2$ questa è giusta come hai detto
p(1):$0+1^3$=$((1(1+1))/2)^2$ ora anche questa è giusta e fà 1
p(2):$0+1^3+2^3$=$((2(2+1))/2)^2$ qua viene 9 ed è il numero che cercavo prima
Direi che la base ci siamo.
Passo
Bene qualcuno mi può spiegare il passo, perchè da quello che ho capito devo aggiungere a $0+1^3+2^3+3^3...n^3$= $((n(n+1))/2)^2$ , (n+1) ovvero dimostrato che p(n) è vera anche p(n+1) è vera, il che si traduce in una cosa del genere salvo errori: $0+1^3+2^3+3^3...n^3$= $((n(n+1)(n+1+1))/2)^2$.
Con la teoria ci sono, ma è con la pratica che non ci sono del tutto.
Provo a fare un'altra prova, forse ho capito,
p(0): $0$=$((0(0+1))/2)^2$ questa è giusta come hai detto
p(1):$0+1^3$=$((1(1+1))/2)^2$ ora anche questa è giusta e fà 1
p(2):$0+1^3+2^3$=$((2(2+1))/2)^2$ qua viene 9 ed è il numero che cercavo prima
Direi che la base ci siamo.
Passo
Bene qualcuno mi può spiegare il passo, perchè da quello che ho capito devo aggiungere a $0+1^3+2^3+3^3...n^3$= $((n(n+1))/2)^2$ , (n+1) ovvero dimostrato che p(n) è vera anche p(n+1) è vera, il che si traduce in una cosa del genere salvo errori: $0+1^3+2^3+3^3...n^3$= $((n(n+1)(n+1+1))/2)^2$.
Con la teoria ci sono, ma è con la pratica che non ci sono del tutto.
$p(n+1)$:
\begin{alignat*}{1}
&\sum_{i=0}^{n+1}i^3=\Bigl[\frac{(n+1)(n+2)}{2}\Bigr]^2 \Longleftrightarrow \\
&\sum_{i=0}^{n}i^3+(n+1)^3=\Bigl[\frac{(n+1)(n+2)}{2}\Bigr]^2 \Longleftrightarrow (ip.induttiva) \\
&\Bigl[\frac{n(n+1)}{2}\Bigr]^2+(n+1)^3=\Bigl[\frac{(n+1)(n+2)}{2}\Bigr]^2
\end{alignat*}
Ora, se svolgi vedrai che l'ultima è vera. Quindi, $p(0) \wedge (p(n) \rightarrow p(n+1))$, per cui $p(n)$ è vera per ogni $n$.
Ciao
\begin{alignat*}{1}
&\sum_{i=0}^{n+1}i^3=\Bigl[\frac{(n+1)(n+2)}{2}\Bigr]^2 \Longleftrightarrow \\
&\sum_{i=0}^{n}i^3+(n+1)^3=\Bigl[\frac{(n+1)(n+2)}{2}\Bigr]^2 \Longleftrightarrow (ip.induttiva) \\
&\Bigl[\frac{n(n+1)}{2}\Bigr]^2+(n+1)^3=\Bigl[\frac{(n+1)(n+2)}{2}\Bigr]^2
\end{alignat*}
Ora, se svolgi vedrai che l'ultima è vera. Quindi, $p(0) \wedge (p(n) \rightarrow p(n+1))$, per cui $p(n)$ è vera per ogni $n$.
Ciao
Ciao,
Gentilmente mi puoi spiegare nell'ipotesi induttiva come sia uscito $(((n+1)(n+2))/2)^2"$ da $((n(n+1))/2)^2$ aggiungendo p(n+1) ??
Grazie.
Gentilmente mi puoi spiegare nell'ipotesi induttiva come sia uscito $(((n+1)(n+2))/2)^2"$ da $((n(n+1))/2)^2$ aggiungendo p(n+1) ??
Grazie.
Ottieni $p(n+1)$ da $p(n)$ operando la sostituzione $n \rightarrow n+1$. In realtà non si "aggiunge" nulla. Quindi $n$ diventa $n+1$ e $n+1$ diventa $(n+1)+1=n+2$. Tutto qui.
Ciao
Ciao
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