Esercizio sul principio di induzione
Salve a tutti e complimentoni per il forum.
Vi scrivo perchè oggi ho provato a fare un esercizio sul principio di induzione ma mi sono piantato ad un certo punto. C'è un errore ma non riesco a capire dove.
$ prod_(n = 2)^(n) ( 1-\frac{1}{n^2}) = (\frac{1+n}{2n})$
Base:
$ ( 1-\frac{1}{2^2}) = (\frac{1+2}{2*2})$ $rArr$ $ ( 1-\frac{1}{4}) = (\frac{3}{4})$ $rArr$ $ ( \frac{3}{4}) = (\frac{3}{4})$
Passo:
$ prod_(n = 2)^(n+1) ( 1-\frac{1}{n^2}) = (\frac{1+(n+1)}{2(n+1)})$ $rArr$ $ prod_(n = 2)^(n+1) ( 1-\frac{1}{n^2}) = (\frac{n+2}{2n+2})$ $rArr$
$ prod_(n = 2)^(n) ( 1-\frac{1}{n^2})+(1-\frac{1}{(n+1)^2}) = (\frac{n+2}{2n+2})$ $rArr$
$(\frac{1+n}{2n})+(1-\frac{1}{(n+1)^2}) = (\frac{n+2}{2n+2})$ $rArr$ $?$
Fin qui dovrebbe essere ok, ma questo punto cerco di sistemare la parte a sinistra ma sbaglio qualcosa e non riesco a proseguire.
Riuscite a darmi una mano.
Grazie mille per il tempo che vorrete dedicare al mio problema.
Negato
Vi scrivo perchè oggi ho provato a fare un esercizio sul principio di induzione ma mi sono piantato ad un certo punto. C'è un errore ma non riesco a capire dove.
$ prod_(n = 2)^(n) ( 1-\frac{1}{n^2}) = (\frac{1+n}{2n})$
Base:
$ ( 1-\frac{1}{2^2}) = (\frac{1+2}{2*2})$ $rArr$ $ ( 1-\frac{1}{4}) = (\frac{3}{4})$ $rArr$ $ ( \frac{3}{4}) = (\frac{3}{4})$
Passo:
$ prod_(n = 2)^(n+1) ( 1-\frac{1}{n^2}) = (\frac{1+(n+1)}{2(n+1)})$ $rArr$ $ prod_(n = 2)^(n+1) ( 1-\frac{1}{n^2}) = (\frac{n+2}{2n+2})$ $rArr$
$ prod_(n = 2)^(n) ( 1-\frac{1}{n^2})+(1-\frac{1}{(n+1)^2}) = (\frac{n+2}{2n+2})$ $rArr$
$(\frac{1+n}{2n})+(1-\frac{1}{(n+1)^2}) = (\frac{n+2}{2n+2})$ $rArr$ $?$
Fin qui dovrebbe essere ok, ma questo punto cerco di sistemare la parte a sinistra ma sbaglio qualcosa e non riesco a proseguire.
Riuscite a darmi una mano.
Grazie mille per il tempo che vorrete dedicare al mio problema.
Negato
Risposte
Ma se è una produttoria perché sommi l'ultimo termine invece di moltiplicare?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
E ' sufficiente moltiplicare ...
$((1+n)/(2n))(1-(1)/(n+1)^2)=((1+n)/(2n)-(1+n)/(2n(n+1)^2))=((n+1)^3-n+1)/(2n(n+1)^2)=$
$=((n+1)[(n+1)^2-1])/(2n(n+1)^2)=((n+1)^2-1)/(2n(n+1))=(n^2+1+2n-1)/(2n(n+1))=(n^2+2n)/(2n(n+1))=$
$=(n(n+2))/(2n(n+1))=(n+2)/(2(n+1))=(n+2)/(2n+2)$
Cordialmente, Alex
$((1+n)/(2n))(1-(1)/(n+1)^2)=((1+n)/(2n)-(1+n)/(2n(n+1)^2))=((n+1)^3-n+1)/(2n(n+1)^2)=$
$=((n+1)[(n+1)^2-1])/(2n(n+1)^2)=((n+1)^2-1)/(2n(n+1))=(n^2+1+2n-1)/(2n(n+1))=(n^2+2n)/(2n(n+1))=$
$=(n(n+2))/(2n(n+1))=(n+2)/(2(n+1))=(n+2)/(2n+2)$
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Ma se è una produttoria perché sommi l'ultimo termine invece di moltiplicare?
Cordialmente, Alex
Scusa se ti rispondo solo sta mattina ma non mi aspettavo una risposta così tempestiva
Ho corretto la stupida svista (che ho perpetrato costantemente per ore nel tentativo di risolvere l'esercizio) e rifatto l'esercizio e ora tutto torna.
Grazie anche di aver messo la soluzione così mi hai risparmiato qualche riga di Latex
A presto e grazie.
Negato
Aggiungo una cosa ... dov'è l'indice in quella produttoria? E' tutto $n$ ...
Io la scriverei così ... $ prod_(k = 2)^(n) ( 1-\frac{1}{k^2}) = (\frac{1+n}{2n})$
Cordialmente, Alex
Io la scriverei così ... $ prod_(k = 2)^(n) ( 1-\frac{1}{k^2}) = (\frac{1+n}{2n})$
Cordialmente, Alex
Meglio.
Grazie.
Negato
Grazie.
Negato
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