Esercizio sul polimio minimo.. aiuto!

[G.G211]

Ciao a tutti! Un esercizio mi chiede:
Dato il numero reale $ u=1+root(3)(2) $ trovare il polinomio minimo di $ u $ su $ QQ $.
Ho provato a razionalizzare $ u $ facendo $ (1 + root(3)(2))(1- root(3)(2) + root(3)(4)) =3 $, ma non credo che si possa dire che il polinomio minimo di $ u $ è $ x-3 $.
Le varie potenze di $ u $ contengono sempre una o più radici quindi non vanno bene... Non so come fare!! Grazie mille!

[G.G211]

Forse ci sono... ponendo $ u=1+root(3)(2) $ allora avremo:
$ u-1=root(3)(2) $,
elevando al cubo $ (u-1)^(3)=2 $
$ u^(3) -3u^(2) +3u -1 = 2 $
$ u^(3) -3u^(2) +3u -3 = 0 $
Quindi $ u $ è radice del polinomio $ x^(3) -3x^(2) +3x -3 $
Qualcuno può darmi la conferma?

[drughe]

si. poi devi verificare se è irriducibile o meno per vedere se è quello il polinomio minimo di u

[maurer]

In questo caso ti va bene, la verifica dell'irriducibilità è facile.

Più in generale, il metodo più efficiente per risolvere questi esercizi è usare l'apparato fornito dalla teoria di Galois. Ma tu li possiedi questi strumenti, oppure no?

[G.G211]

Non mi è mai stata nominata la teoria di Galois a lezione quindi non so esattamente in che cosa consista, anche se credo che centri con le estensioni di campi, argomento che invece abbiamo affrontato.

[maurer]

Sì, ma allora non importa. Se non ti è stata spiegata, non ti capiteranno esercizi in cui serve!