Esercizio sul numero di divisori di $10^(2m)$ che terminano con un numero pari di zeri
Buongiorno,
non capisco la dimostrazione di un esercizio risolto che chiede quanti sono e perchè i divisori che terminano con un numero pari di zeri di $10^(2m)$ dove $m$ è un numero naturale.
"Svolgimento: i divisori di $n=10^(2m)=2^(2m)*5^(2m)$ sono gli elementi dell'insieme $D= {d in N|d= 2^\alpha*5^\beta, 0<=\alpha<=2m, 0<=\alpha<=2m}$. Quali di questi definiscono un numero pari di zeri?
Dato d in D, sia k quel numero per cui d è multiplo di $10^k$ ma non di $10^(k+1)$. k è il numero di zeri con cui finisce d, dunque ci interessano quei d per cui k è pari. E a cosa corrisponde k?
Semplicemente il minimo tra $\alpha$ e $\beta$."
Perchè k deve essere il minimotra $\alpha$ e $\beta$?
Grazie
non capisco la dimostrazione di un esercizio risolto che chiede quanti sono e perchè i divisori che terminano con un numero pari di zeri di $10^(2m)$ dove $m$ è un numero naturale.
"Svolgimento: i divisori di $n=10^(2m)=2^(2m)*5^(2m)$ sono gli elementi dell'insieme $D= {d in N|d= 2^\alpha*5^\beta, 0<=\alpha<=2m, 0<=\alpha<=2m}$. Quali di questi definiscono un numero pari di zeri?
Dato d in D, sia k quel numero per cui d è multiplo di $10^k$ ma non di $10^(k+1)$. k è il numero di zeri con cui finisce d, dunque ci interessano quei d per cui k è pari. E a cosa corrisponde k?
Semplicemente il minimo tra $\alpha$ e $\beta$."
Perchè k deve essere il minimotra $\alpha$ e $\beta$?
Grazie
Risposte
Io avrei trovato che i divisori che ci interessano sono: $m*(2m-1)$
Ma non sono in grado di dare un'adeguata dimostrazione......
Ma non sono in grado di dare un'adeguata dimostrazione......
"isottina7":
Perchè k deve essere il minimotra α e β?
Dovendo assemblare strenne natalizie (panettone con bottiglia), disponendo di $\alpha $ panettoni e $ \beta $ bottiglie; quane ne puoi fare?
La soluzione di superpippone è esatta.
Ciao
Grazie delle risposte!
Comincio a capire qualcosa..
Il testo fa il conteggio in questo modo:
k è quindi il minimo tra alfa e beta, contiamo prima i d in D per i quali $\alpha<=beta$ .
Fissato alfa pari il testo dice che qualsiasi beta maggiore di alfa e minore di 2m (perchè minore e non minore o uguale?) restituisce un d in D.
Di tali beta ce ne sono $2m-alpha +1$.
Quel + 1 a cosa è dovuto?
Grazie
Comincio a capire qualcosa..
Il testo fa il conteggio in questo modo:
k è quindi il minimo tra alfa e beta, contiamo prima i d in D per i quali $\alpha<=beta$ .
Fissato alfa pari il testo dice che qualsiasi beta maggiore di alfa e minore di 2m (perchè minore e non minore o uguale?) restituisce un d in D.
Di tali beta ce ne sono $2m-alpha +1$.
Quel + 1 a cosa è dovuto?
Grazie
"isottina7":
..qualsiasi beta maggiore di alfa e minore di 2m..
Hai ragione la formulazione corretta dovrebbe essere: ..non minore... , ...non maggiore...
"isottina7":
Quel + 1 a cosa è dovuto?
Quanti sono i naturali $ 4 <= n <= 8 $ ?
Ciao
Grazie,
ora mi torna col risultato del testo a meno di un segno (spero errore di stampa...)
Lo scrivo perchè magari interessa anche Superpippo,visto che il suo risultato non era correttissimo.
In pratica si fissa prima alfa pari e si fa variare beta da alfa a 2m. (beta maggiore di alfa).
Se ci pensiamo un attimo (a me ce ne son voluti anche 3 o 4..) questa è la somma dei primi m+1 numeri dispari cioè $(m+1)^2 $. Facciamo simmetricamente la stessa cosa per alfa fissando beta: il risultato sarà lo stesso del precedente.
Poi si contano i d in D con alfa pari a beta: e questi sono i numeri pari tra 0 e 2m, ovvero m+1.
Alla fine il risultato finale sarà: $2*(m+1)^2 +m+1$.
Grazie ancora a tutti
ora mi torna col risultato del testo a meno di un segno (spero errore di stampa...)
Lo scrivo perchè magari interessa anche Superpippo,visto che il suo risultato non era correttissimo.
In pratica si fissa prima alfa pari e si fa variare beta da alfa a 2m. (beta maggiore di alfa).
Se ci pensiamo un attimo (a me ce ne son voluti anche 3 o 4..) questa è la somma dei primi m+1 numeri dispari cioè $(m+1)^2 $. Facciamo simmetricamente la stessa cosa per alfa fissando beta: il risultato sarà lo stesso del precedente.
Poi si contano i d in D con alfa pari a beta: e questi sono i numeri pari tra 0 e 2m, ovvero m+1.
Alla fine il risultato finale sarà: $2*(m+1)^2 +m+1$.
Grazie ancora a tutti
"isottina7":
Lo scrivo perchè magari interessa anche Superpippo,visto che il suo risultato non era correttissimo.
Purtroppo il risultato di superpippone, come ti ho già detto, è corretto. Ad essere sbagliato è il tuo che già con $ m=1 $ fornirebbe, erroneamente, $ 11 $ divisori (terminanti con due zeri) del misero $ 100 $.
Ciao
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