Esercizio sul gruppo simmetrico

[HyundaiBenz]

Buongiorno! Mi servirebbe una dritta per risolvere questo esercizio. Ecco la traccia:

Si dica se il seguente sottoinsieme di \(\displaystyle S_4 \)
{id, (1 3 2), (1 2 3), (1 2), (3 4), (2 3), (1 3)(2 4), (1 2)(3 4), (1 2 3 4), (1 3 2 4), (2 1 3 4), (2 1 4 3)}
è o meno un sottogruppo di $S_4$.


Io so che la cardinalità di $S_4$ è 4! = 4*3*2 = 24. Il sottoinsieme ha cardinalità 12. Dato che 12 divide 24, il sottoinsieme potrebbe essere un sottogruppo di $S_4$.

Ora devo verificare se:

[*:1omf5cav]Il sottoinsieme è chiuso rispetto all'operazione (si, ma quale?!?! Quella di composizione delle funzioni?!)[/*:m:1omf5cav]
[*:1omf5cav]L'elemento neutro di $S_4$ appartiene al sottoinsieme (qual è l'elemento neutro? E' l'identità?)[/*:m:1omf5cav]
[*:1omf5cav]Per ogni elemento del sottoinsieme il suo inverso è contenuto nel sottoinsieme[/*:m:1omf5cav][/list:u:1omf5cav]

Oppure più semplicemente potrei verificare questa condizione: Per ogni h, k appartenenti al sottoinsieme deve risultare che h combinato con \(\displaystyle k^{-1} \) appartenga ancora al sottoinsieme.

Io so che se ho un ciclo del tipo $((1,2),(a,b))$ il suo inverso è $((a,b),(1,2))$. Prendo il primo elemento del sottinsieme:
$((1,3, 2)) = ((1,3,2),(3,2,1))$. Il suo inverso è $((3,2,1),(1,3,2)) = ((3,1,2)) = ((1,2,3))$ che appartiene al sottoinsieme.
Dovrei fare così per tutti gli elementi?

Grazie in anticipo!

[Shocker1]

"HyundaiBenz":

[*:yq9cy3d7]Il sottoinsieme è chiuso rispetto all'operazione (si, ma quale?!?! Quella di composizione delle funzioni?!)[/*:m:yq9cy3d7]
[*:yq9cy3d7]L'elemento neutro di $ S_4 $ appartiene al sottoinsieme (qual è l'elemento neutro? E' l'identità?)[/*:m:yq9cy3d7]
[*:yq9cy3d7]Per ogni elemento del sottoinsieme il suo inverso è contenuto nel sottoinsieme[/*:m:yq9cy3d7][/list:u:yq9cy3d7]

Sì l'operazione è quella di composizione fra funzioni: quelle lì sono permutazioni(aka funzioni bigettive da un insieme in sé), la scrittura che usi, quella in cicli, ha il pregio di essere molto compatta e utile quando componi.
Sì l'elemento neutro è l'identità, cioè quella permutazione che lascia fissi tutti i punti.

Dovrei fare così per tutti gli elementi?

Bene o male sì, ma controlla anche la chiusura dell'insieme rispetto alla composizione.

[HyundaiBenz]

"Shocker":[quote="HyundaiBenz"]

[*:miyym205]Il sottoinsieme è chiuso rispetto all'operazione (si, ma quale?!?! Quella di composizione delle funzioni?!)[/*:m:miyym205]
[*:miyym205]L'elemento neutro di $ S_4 $ appartiene al sottoinsieme (qual è l'elemento neutro? E' l'identità?)[/*:m:miyym205]
[*:miyym205]Per ogni elemento del sottoinsieme il suo inverso è contenuto nel sottoinsieme[/*:m:miyym205][/list:u:miyym205]

Sì l'operazione è quella di composizione fra funzioni: quelle lì sono permutazioni(aka funzioni bigettive da un insieme in sé), la scrittura che usi, quella in cicli, ha il pregio di essere molto compatta e utile quando componi.
Sì l'elemento neutro è l'identità, cioè quella permutazione che lascia fissi tutti i punti.

Dovrei fare così per tutti gli elementi?

Bene o male sì, ma controlla anche la chiusura dell'insieme rispetto alla composizione.[/quote]
Ok Grazie! Come faccio a controllare la chiusura dell'insieme rispetto alla composizione?
Vuol dire che devo controllare se tutti gli elementi che ottengono appartengono all'insieme $S_4$?

[Shocker1]

No, non che appartengono a $S_4$ ma all'insieme che stai considerando.
Semplicemente prendi due elementi dell'insieme, componili, se appartengono ancora all'insieme è bene altrimenti l'insieme non forma un sottogruppo. L'idea è quella di pescare due elementi dell'insieme la cui composizione non appartiene, appunto, all'insieme che stai considerando.