Esercizio sui Vettori

[PieroAlieni]

Salve a tutti, propongo un esercizio sui vettori x cercare di chiarire alcuni miei dubbi.

Si considerino i seguenti tre vettori in R4: V1=(1,0,-1,0) V2=(0,1,1,1) V3=(-1,1,1,0).

a) Verificare che {V1,V2,V3} sono indipendenti. (Dimostrato verificando che la matrice associata ha rango 3)
b) Determinare un vettore V4: {V1,V2,V3,V4} e' una base di R4. (Trovato V4=(0,0,0,1) utilizzando il teorema del Completamento della Base)
c) Stabilire se esiste un'applicazione lineare f:R4->R2 t.c.: f(V1)=(a,a), f(V2)=(b,b), f(V3)=(c,c) con a≠b≠c e (a,b,c) € R
d) Stabilire se esiste un'applicazione lineare f:R4->R2 t.c.: f(V1)=(1,1), f(V2)=(2,2), f(V3)=(0,0), f(V1+2V2)=(1,3).


Con i punti c) e d) sono in alto in mare, uno cosa di cui credo di essere certo e' che, riguardo al punto d), f(V1+2V2)=(5,5)..

Qualcuno sa illuminarmi sugli ultimi due punti?
Grazie, saluti.

Piero

[pat871]

Per il punto c):
Basta prendere per esempio la matrice
$((1,1,1,1),(1,1,1,1))$
e vedere che le tre condizioni sono soddisfatte.

d) No, non esiste.
Se f è lineare, allora $f(v_1 + 2v_2) = f(v_1) + 2f(v_2) = (1,1) + 2(2,2) = (5,5) ne (1,3)$...