Esercizio sui teoremi di Sylow
Buonasera, vi chiedo una mano riguardo il seguente esercizio:
Sia G un gruppo di ordine $12*p$ con p primo, $p>5$. Mostrare che G non è semplice.
Inizio della soluzione:
-$2-Sylow$ di ordine 4;
-$3-Sylow$ di ordine 3;
-$p-Sylow$ di ordine p.
Allora il numero di $2-Sylow$ può essere $n_2=1, 3, p, 3*p$. Qui ho ragionato nel seguente modo: poiché p è primo e maggiore di 5 è sicuramente un numero dispari, quindi sicuramente congruo a 1 modulo 2.
Il numero di $3-Sylow$ può essere $n_3=1, 4, 2*p, 4*p$. Qui ho ragionato nel seguente modo: Sicuramente sia 1 che 4 sono congrui a 1 modulo 3. Se $n_3=2*p$ è possibile che sia congruo a 1 modulo 3 (ad esempio per p=11). Se $n_3=4*p$ è possibile che sia congruo a 1 modulo 3 (ad esempio per $p=7$.
Il numero di $p-Sylow$ può essere $n_p=1,12$. Anche qui è possibile che $n_p=12$ sia congruo a 1 modulo 11 (p=11).
Intanto chiedo gentilmente se fino a qui va tutto bene
Sia G un gruppo di ordine $12*p$ con p primo, $p>5$. Mostrare che G non è semplice.
Inizio della soluzione:
-$2-Sylow$ di ordine 4;
-$3-Sylow$ di ordine 3;
-$p-Sylow$ di ordine p.
Allora il numero di $2-Sylow$ può essere $n_2=1, 3, p, 3*p$. Qui ho ragionato nel seguente modo: poiché p è primo e maggiore di 5 è sicuramente un numero dispari, quindi sicuramente congruo a 1 modulo 2.
Il numero di $3-Sylow$ può essere $n_3=1, 4, 2*p, 4*p$. Qui ho ragionato nel seguente modo: Sicuramente sia 1 che 4 sono congrui a 1 modulo 3. Se $n_3=2*p$ è possibile che sia congruo a 1 modulo 3 (ad esempio per p=11). Se $n_3=4*p$ è possibile che sia congruo a 1 modulo 3 (ad esempio per $p=7$.
Il numero di $p-Sylow$ può essere $n_p=1,12$. Anche qui è possibile che $n_p=12$ sia congruo a 1 modulo 11 (p=11).
Intanto chiedo gentilmente se fino a qui va tutto bene
Risposte
Sì, adesso se fossi in te mi chiederei per quali $p$ può essere che 12 è congruo a 1 modulo $p$.
"Martino":
Sì, adesso se fossi in te mi chiederei per quali $ p $ può essere che 12 è congruo a 1 modulo $ p $.
Dalla congruenza ho che $11=h*p$, quindi solo $p=11$ credo che sia un candidato papabile.
E quindi? Continua il ragionamento.
Ho che:
-$n_11=1$ oppure $n_11= 12$;
-$n_2=1,\ 3,\ 11,\ 33\$;
-$n_3=1$ oppure $n_3=4$;
Ragiono su $n_11$ e su $n_3$. Suppongo che siano entrambi diversi da 1 altrimenti non avrei nulla da dimostrare e conto gli elementi:
Mi rimangono $132-12*(11-1)-4*(3-1)=12*=132-120-8=4$ elementi che non hanno ordine 11 o 3, che vanno tutti in un unico $2-Sylow$. Quindi G non è semplice.
Può andare?
-$n_11=1$ oppure $n_11= 12$;
-$n_2=1,\ 3,\ 11,\ 33\$;
-$n_3=1$ oppure $n_3=4$;
Ragiono su $n_11$ e su $n_3$. Suppongo che siano entrambi diversi da 1 altrimenti non avrei nulla da dimostrare e conto gli elementi:
Mi rimangono $132-12*(11-1)-4*(3-1)=12*=132-120-8=4$ elementi che non hanno ordine 11 o 3, che vanno tutti in un unico $2-Sylow$. Quindi G non è semplice.
Può andare?
Sì dovresti anche dire che $n_3=22$ non è possibile (avresti troppi elementi) e il resto è giusto.
"Martino":, vero ho fatto male i calcoli e ho scritto che 22 non è congruo a 1 modulo 3. Una fesseria insomma.
Sì dovresti anche dire che n3=22 non è possibile (avresti troppi elementi) e il resto è giusto
Grazie mille per l'aiuto
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