Esercizio sui sottogruppi di Sylow

[marta_l-votailprof]

Sia $G=S_4$. Trovare almeno un 2-sottogruppo di Sylow di $G$ e un 3-sottogruppo di Sylow di $G$.

Allora, se non dico male il gruppo $G$ è: ${I,(12),(13),(14),(23),(34),(24),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(123),(132),(134),(143),(124),(142),(234),(243),(1234),(1324),(1432),(1243),(1342),(1423)}$ che sarebbe il gruppo simmetrico delle permutazioni su $X={1,2,3,4}$.
Allora ho pensato che l'ordine di $G$ è $4! =24=3*2^3$ perciò i 2-sottogruppi di Sylow hanno ordine $8$ giusto? ma non riesco a trovarne uno esplicitamente...

Lo stesso problema per i 3-sottogruppi...che in questo caso devono avere ordine $3$.

Ringrazio già tutti quelli che vorranno darmi una manina!

[milady1]

"Marty84":Sia $G=S_4$. Trovare almeno un 2-sottogruppo di Sylow di $G$ e un 3-sottogruppo di Sylow di $G$.

Posto $n_p=$ numero dei p-Sylow di G

analizziamo quindi $n_2$ ed $n_3$ ;
poichè $n_2 \equiv 1(mod2)$ i casi possibili sono $n_2=1$ oppure $n_2=3$
poichè $n_3 \equiv 1(mod3)$ i casi possibili sono $n_3=1$ oppure $n_3=4$
Inoltre essendo $D_4 <= S_4$ di ordine $8$ certamente $D_4$ è un 2-Sylow di $S_4$
Ora, se mediante coniugio del sottogruppo $D_4$ ottieni un sottogruppo diverso da $D_4$ allora $n_2=3$..
(se non riesci a trovarli fammi sapere..)
Inoltre osserva che ci sono $8$ 3-cicli in $ S_4$
che vanno ripartiti nei $4$ 3-Sylow....( ad esempio $K_1= <(123)>$ )
scusa la forma ma in algebra sono un pò arruginita!!!!