Esercizio sui sottogruppi.
Ciao ragazzi, sto iniziando da poco a studiare Teoria dei gruppi, degli anelli e dei campi...
Dato che sto studiando da autodidatta, sto accostando la pratica alla teoria. Quindi, dopo aver fatto un pò di teoria sui gruppi e sulle permutazioni ho provato a fare un esercizio di appello di esame. Ecco la traccia:
Per ogni $n >= 3$ sia $S_n(3)$ l'insieme di tutti i cicli di lunghezza $3$ di $S_n$.
a. Verificare che $S_3(3) uu {id}$ è un sottogruppo di $S_3$.
b. Per $n >= 4$, $S_n(3) uu{id}$ è un sottogruppo di $S_n$?
Per il punto a ho fatto le verifiche che vanno fatte per dimostrare se un sottoinsieme è sottogruppo e la verifica mi esce positiva (anche se ho dubbi da come è composto l'insieme $S_n(3)$.. mi sembra di aver capito che sia composto da $n!$ elementi.. giusto?)
Per il punto b invece mi verrebbe da negare... Solo che il mio è solo un ragionamento intuitivo e quindi sbagliatissimo...
Chi può darmi una mano?
Dato che sto studiando da autodidatta, sto accostando la pratica alla teoria. Quindi, dopo aver fatto un pò di teoria sui gruppi e sulle permutazioni ho provato a fare un esercizio di appello di esame. Ecco la traccia:
Per ogni $n >= 3$ sia $S_n(3)$ l'insieme di tutti i cicli di lunghezza $3$ di $S_n$.
a. Verificare che $S_3(3) uu {id}$ è un sottogruppo di $S_3$.
b. Per $n >= 4$, $S_n(3) uu{id}$ è un sottogruppo di $S_n$?
Per il punto a ho fatto le verifiche che vanno fatte per dimostrare se un sottoinsieme è sottogruppo e la verifica mi esce positiva (anche se ho dubbi da come è composto l'insieme $S_n(3)$.. mi sembra di aver capito che sia composto da $n!$ elementi.. giusto?)
Per il punto b invece mi verrebbe da negare... Solo che il mio è solo un ragionamento intuitivo e quindi sbagliatissimo...
Chi può darmi una mano?
Risposte
$S_n$ è composto da $n!$ elementi. Invece per vedere la cardinalità di $S_n(3)$ devi chiederti: quanti sono i modi di disporre senza ripetizioni $n$ elementi in $3$ slot (http://www.math.it/formulario/calcolo_combinatorio.htm)? Dopo di che considera che le disposizioni $(a b c), (b c a), (c a b)$ sono equivalenti, quindi dovrai dividere il risultato per $3$
L'insieme $S_3(3)$ sarà formato da $(1 2 3), (1 3 2)$ e basta.
Il punto b) è falso. Basta prendere $S_4(3)$ e vedere che $(1 2 3) (3 1 4)=(1 4 )(3 2)$.
Paola
L'insieme $S_3(3)$ sarà formato da $(1 2 3), (1 3 2)$ e basta.
Il punto b) è falso. Basta prendere $S_4(3)$ e vedere che $(1 2 3) (3 1 4)=(1 4 )(3 2)$.
Paola
Grazie mille per questo input!! Prenderò carta e penna e riproverò a farlo solo!
p.s.
[OT]Bella la prima citazione in firma! [/OT]
p.s.
[OT]Bella la prima citazione in firma! [/OT]
"prime_number":
$S_n$ è composto da $n!$ elementi. Invece per vedere la cardinalità di $S_n(3)$ devi chiederti: quanti sono i modi di disporre senza ripetizioni $n$ elementi in $3$ slot (http://www.math.it/formulario/calcolo_combinatorio.htm)? Dopo di che considera che le disposizioni $(a b c), (b c a), (c a b)$ sono equivalenti, quindi dovrai dividere il risultato per $3$
L'insieme $S_3(3)$ sarà formato da $(1 2 3), (1 3 2)$ e basta.
Il punto b) è falso. Basta prendere $S_4(3)$ e vedere che $(1 2 3) (3 1 4)=(1 4 )(3 2)$.
Paola
Ho provato a svolgerlo di nuovo e ho capito come è composto l'insieme $S_3(3)$..
Non ho capito però invece da cosa è formato l'insieme $S_4(3)$.. Sempre intuitivamente ho provato a farmi uno schemino e, usando la formula, ho trovato che questo insieme è formato da 4 combinazioni che dovrebbero essere:
$(1 2 3), (2 3 4), (3 4 1), (4 1 2)$
Però già non c'è la combinazione $(3 1 4)$...
P.s.
Comunque ho capito il perchè esce così.. $(1 2 3) (3 1 4)=(1 4 )(3 2)$.. E in più il punto b quindi è falso perchè la combinazione non rispetta la condizione $S_n(3)$ giusto? (Anche se mi sa che il motivo l'ho "spiegato" male...)
EDIT:
non rispetta la condizione di sottogruppo, cioè non mantiene con l'operazione di prodotto le caratteristiche dell'insieme di partenza... (forse è più giusto così...! :S)
Il controesempio che ti ho mostrato ti dice che presi due elementi di $S_4(3)$ e applicata l'operazione di gruppo ad essi, il risultato non appartiene a $S_4(3)$, cioè esso non è chiuso rispetto all'operazione di gruppo.
Il numero degli elementi di $S_4(3)$ è $\frac{4!}{(4-3)!}\frac{1}{3}=8$ e non $4$.
Paola
Il numero degli elementi di $S_4(3)$ è $\frac{4!}{(4-3)!}\frac{1}{3}=8$ e non $4$.
Paola
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