Esercizio sui sottogruppi

[ilaria22801]

Salve, dopodomani dovrò sostenere un esame di algebra e sto incontrando alcune difficoltà con il seguente esercizio, in particolare nel provare che G è un sottogruppo. Qualcuno potrebbe aiutarmi?

Nel gruppo \(\displaystyle GL(2, \mathbb{Q}) \) delle matrici \(\displaystyle 2\times 2 \) invertibili su \(\displaystyle \mathbb{Q} \), si consideri il sottoinsieme

\(\displaystyle G = \left\{\left(\begin{matrix}1+c&c\\-c&1-c\\\end{matrix}\right)\ t.c.\ \ c\in\mathbb{Q}\right\} \)

Si provi che \(G\) è un sottogruppo di \(\displaystyle GL(2, \mathbb{Q}) \), si studi se esso è abeliano e se ne determini la cardinalità.

Grazie in anticipo

[xdom="vict85"]Ti ho modificato un po' le formule. Devi ricordarti di inserire [inline]\( \)[/inline], [inline]\[ \][/inline] oppure [inline]$ $[/inline] (esattamente come nel normale LaTeX).[/xdom]

[vict85]

[xdom="vict85"]Il [regolamento]1_2[/regolamento] prevede un tentativo da parte tua. Cosa hai provato a fare? Dimostrare che qualcosa è un sottogruppo è un procedimento piuttosto meccanico, che calcolo non riesci a fare?[/xdom]

[ilaria22801]

Mi chiedevo se per giustificare l’appartenenza a G della matrice che si ottiene dal prodotto di un certo elemento di G per l’inverso di un altro elemento di G fosse sufficiente scrivere che tutte le operazioni svolte hanno senso e restituiscono elementi di Q in quanto Q(+,•) è un anello. Oppure è necessario dimostrare ‘a mano’ che ogni entrata della matrice è un elemento di Q?
Grazie per aver sistemato le formule.