Esercizio sui polinomi
Ragazzi , da poco mi sto avvicinando ai polinomi però su questo esercizio ho serie difficoltà.. e non so proporre una mia soluzione anche perchè non ne ho idea su come svolgerla. Grazie in primis a chi aiuta.
Per quali primi positivi p il polinomio fp = (classe)30x^5 + x^3 + (classe)2x + (classe)2 appartente a Zp[x] ha grado 3 ?
(i) Per ciascuno di tali primi p , scrivere fp come prodotto di polinomi monici irriducibili in Zp[x]
(ii) il polinomio x^3 +2x +2 è irriducibile in R[x]? Ha radici in R?
Per quali primi positivi p il polinomio fp = (classe)30x^5 + x^3 + (classe)2x + (classe)2 appartente a Zp[x] ha grado 3 ?
(i) Per ciascuno di tali primi p , scrivere fp come prodotto di polinomi monici irriducibili in Zp[x]
(ii) il polinomio x^3 +2x +2 è irriducibile in R[x]? Ha radici in R?
Risposte
Il primo polinomio per avere grado $3$ significa che tutti i termini $x^n$ con $n>3$ abbiano coefficiente nullo.
Per quali primi $p$ si ha quindi che $[30]=[0]$?
Al secondo poi ci arriviamo
Il terzo è il più facile.
Cosa puoi dire in genere di un polinomio di grado dispari su $RR$?
ricordati le formule, basta racchiudere tra due dollari una formula matematica
Per quali primi $p$ si ha quindi che $[30]=[0]$?
Al secondo poi ci arriviamo
Il terzo è il più facile.
Cosa puoi dire in genere di un polinomio di grado dispari su $RR$?
ricordati le formule, basta racchiudere tra due dollari una formula matematica
Io so che in R[x] tutti e soli i polinomi irriducibili sono quelli di primo grado e quelli di secondo grado con discriminante negativo, e che se non sbaglio in R[x] tutti i polinomi di grado dispari ammettono una radice reale , e quindi riducibili?
In genere vale che in $K[x]$ i polinomio di grado uno sono sempre irriducibili mentre per quelli di grado 2,3 sono riducibili se e solo se ammettono almeno una radice(sapresti dire il perché?)
Esatto in $RR[x]$ i polinomi di grado dispari ammettono sempre una radice reale, quindi tutti i polinomio di grado dispari sono riducibili.
Esatto in $RR[x]$ i polinomi di grado dispari ammettono sempre una radice reale, quindi tutti i polinomio di grado dispari sono riducibili.
Perfetto , mentre per il primo quesito ho avuto qualche difficoltà , a svolgerlo io mi sono trovato usando p = 1 che i primi che annullano il polinomio sono p = 7 e p= 5.. ti trovi ?
però sono indeciso se utilizzare p=0, dove avrei p=1 p=2 come primi che annullano l'equazione .
però sono indeciso se utilizzare p=0, dove avrei p=1 p=2 come primi che annullano l'equazione .
Allora lui ti chiede quando il polinomio $P(x)=[2]+[2]x+x^3+[30]x^5$ è un polinomio di grado $3$ ovvero quando $[30]=[0]$ e questo è vero se $30 in ZZ_p$ per qualche $p in NN$ ovvero quando $p|30$ e quali sono tutti i primi che dividono $30$? è chiaro che la sua fattorizzazione è $30=2*3*5$ e ricorda che $0,1$ non sono primi.
quindi i primi che dividono $30$ sono $2,3,5$ e pertanto va considerato
$x^3+[2]x+[2]=[2]+[2]x+x^3+[30]x^5in ZZ_p$ con $p=2,3,5$
no?
quindi i primi che dividono $30$ sono $2,3,5$ e pertanto va considerato
$x^3+[2]x+[2]=[2]+[2]x+x^3+[30]x^5in ZZ_p$ con $p=2,3,5$
no?
Non ho capito l'ultimo passaggio ..
x3+[2]x+[2]=[2]+[2]x+x3+[30]x5∈Zp con p=1,2,3..
NB.Per lo svolgimento fatto prima avevo proprio frainteso per via di un vecchio esercizio che non aveva nessuna valenza in questo, pardon
x3+[2]x+[2]=[2]+[2]x+x3+[30]x5∈Zp con p=1,2,3..
NB.Per lo svolgimento fatto prima avevo proprio frainteso per via di un vecchio esercizio che non aveva nessuna valenza in questo, pardon
Intendo solo dire che il polinomio $[30]x^5+x^3+[2]x+[2]$ è di terzo grado per $p$ primo solo quando $p=2,3,5$ e coincide con $x^3+[2]x+[2]$
ah ok , avevo visto p=1,2,3 e non capivo . Senti invece per il punto (i) , avendo trovato i primi p = 3,5,7 ? come posso svolgerlo
si l'ho modificato, ho scritto in automatico strisciando sui primi tre numeri 
i primi sono $2,3,5$ non $3,5,7$ infatti $7$ nemmeno divide $30$
è un polinomio di grado $3$ a coefficienti in un campo, quindi è riducibile se e solo se ... ?
i primi sono $2,3,5$ non $3,5,7$ infatti $7$ nemmeno divide $30$
è un polinomio di grado $3$ a coefficienti in un campo, quindi è riducibile se e solo se ... ?
Aspè , forse ti stai confondendo con l'ultimo punto , quello lo abbiamo risolto semplicemente con la definizione ( che come un co**ione non l'ho fatta subito . Io chiedevo il secondo punto cioè :
(i) Per ciascuno di tali primi p , scrivere fp come prodotto di polinomi monici irriducibili in Zp[x]
io avevo pensato che per scriverlo come prodotto monici di primi avrei dovuto prima cosa fare per i primi trovati
(x-2) (x-3) (x-5) ( 30x^5 ecc ecc) .. ma non saprei come continuare
(i) Per ciascuno di tali primi p , scrivere fp come prodotto di polinomi monici irriducibili in Zp[x]
io avevo pensato che per scriverlo come prodotto monici di primi avrei dovuto prima cosa fare per i primi trovati
(x-2) (x-3) (x-5) ( 30x^5 ecc ecc) .. ma non saprei come continuare
No invece era proprio la domanda che volevo farti.
Perchè? Se un polinomio è irriducibile allora $P(x)=Q(x)*R(x) => Q$ oppure $R$ è invertibile quindi almeno uno dei due è costante: assumendo che $R$ sia costante si avrà $P(x)=c*Q(x)$
per un polinomio a coefficienti in un campo di grado 2 o 3 l'assenza di radici equivale all'irriducibilità.
prendiamo $x^3+[2]x+[2]$ a coefficienti in $ZZ_2$ quindi si avrà che quel polinomio coincide con $x^3$ che è chiaramente riducibile poichè si può scrivere come $x^3=x*x*x$ che sono tutti irriducibili, ma questo è facile.
invece prendiamolo in $ZZ_3$ e vediamo se ha radici.
$P(x)=x^3+[2]x+[2]$ valutato in $0,1,2$ è sempre diverso da $[0]$ quindi è irriducibile e pertanto l'unico modo in cui può essere scritto per soddisfare la richiesta è $P(x)=[1]*(x^3+[2]x+[2])$
in genere per gradi più alti non è vero infatti in $RR[x]$ il polinomio $P(x)=x^4+1$ è riducibile ma non ammette radici in quanto $x^4+1=(x^2+sqrt2x+1)(x^2-sqrt2x+1)$ e sono polinomi irriducibili.
Perchè? Se un polinomio è irriducibile allora $P(x)=Q(x)*R(x) => Q$ oppure $R$ è invertibile quindi almeno uno dei due è costante: assumendo che $R$ sia costante si avrà $P(x)=c*Q(x)$
per un polinomio a coefficienti in un campo di grado 2 o 3 l'assenza di radici equivale all'irriducibilità.
prendiamo $x^3+[2]x+[2]$ a coefficienti in $ZZ_2$ quindi si avrà che quel polinomio coincide con $x^3$ che è chiaramente riducibile poichè si può scrivere come $x^3=x*x*x$ che sono tutti irriducibili, ma questo è facile.
invece prendiamolo in $ZZ_3$ e vediamo se ha radici.
$P(x)=x^3+[2]x+[2]$ valutato in $0,1,2$ è sempre diverso da $[0]$ quindi è irriducibile e pertanto l'unico modo in cui può essere scritto per soddisfare la richiesta è $P(x)=[1]*(x^3+[2]x+[2])$
in genere per gradi più alti non è vero infatti in $RR[x]$ il polinomio $P(x)=x^4+1$ è riducibile ma non ammette radici in quanto $x^4+1=(x^2+sqrt2x+1)(x^2-sqrt2x+1)$ e sono polinomi irriducibili.
Sei un fottuto genio , devo rivedermi meglio questi polinomi , Antò grazie veramente !!
troppo gentile, grazie 
e quindi per $p=5$ come ci comportiamo?
e quindi per $p=5$ come ci comportiamo?
Intendi se prendiamo sempre P(x) in Z5?
esattamente.
è sempre irriducibile , dato che sarà sempre diverso dalla classe [0] valutato con p=0,1,2,3,4 prendiamo , giusto ?
NB. è dato che non ci sono radici , possiamo dire che è irriducibile giusto ?
NB. è dato che non ci sono radici , possiamo dire che è irriducibile giusto ?
e invece $P(1)=[1]^3+[2][1]+[2]=[5]=[0]$ infatti è riducibile.
inoltre anche $P(3)=0$ in quanto $[27]+[6]+[2]=[35]=[0]$.
Inoltre puoi provare che $1,3$ sono le uniche due radici del polinomio quindi ci aspettiamo che sia
sarà il secondo infatti facendo i calcoli trovi
quindi la sua scomposizione in fattori irriducibili sarà
inoltre anche $P(3)=0$ in quanto $[27]+[6]+[2]=[35]=[0]$.
Inoltre puoi provare che $1,3$ sono le uniche due radici del polinomio quindi ci aspettiamo che sia
$P(x)=(x-[1])*(x-[3])^2$ oppure $P(x)=(x-[1])^2(x-[3])$
sarà il secondo infatti facendo i calcoli trovi
$(x^2-[2]x+[1])(x-[3])=x^3-[2]x^2+x-[3]x^2+[6]x-[3]=x^3+[2]x+[2]$
quindi la sua scomposizione in fattori irriducibili sarà
$P(x)=(x-[1])*(x-[1])*(x-[3])$
Giustamente io ho controllato solo se venisse diverso da 0 e non della classe di 0 .. giusto. Quindi se ho capito bene , dato che all'inizio ci siamo trovati p=2,3,5, dobbiamo testarli per queste classi è vedere se viene classe di 0 in Z2 per 2, Z3 per 3 e Z5 per 5, ok , ora mi è ben chiaro la situazione, cosi da trovarci a nostra volta le radici che li annullano. perfett antò ora mi è più chiaro
In genere devi farlo per tutti gli elementi.
$ZZ_2$ in $[0],[1]$
$ZZ_3$ in $[0],[1],[2]$
$ZZ_5$ in $[0],[1],[2],[3],[4]$
preso in uno di questi insiemi, se si annulla per qualche classe è riducibile altrimenti se per ogni classe dell’insieme il polinomio è sempre diverso da $[0]$ di quell’insieme allora é irriducibile.
Questo ovviamente per polinomio di grado 2,3
Per gradi maggiori vale solo il fatto che se $P(a)=0$ allora $P(x)$ è riducibile, il viceversa non è sempre vero.
$ZZ_2$ in $[0],[1]$
$ZZ_3$ in $[0],[1],[2]$
$ZZ_5$ in $[0],[1],[2],[3],[4]$
preso in uno di questi insiemi, se si annulla per qualche classe è riducibile altrimenti se per ogni classe dell’insieme il polinomio è sempre diverso da $[0]$ di quell’insieme allora é irriducibile.
Questo ovviamente per polinomio di grado 2,3
Per gradi maggiori vale solo il fatto che se $P(a)=0$ allora $P(x)$ è riducibile, il viceversa non è sempre vero.
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