Esercizio sui polinomi
Dovrei fare il seguente esercizio ma non riesco a trovare il modo. 
Determinare tutti i polinomi $f\in\mathbb{R}[x]$ tali che $f(n)=n$ per ogni $n\in\mathbb{N}$, e tutti i polinomi $f\in\mathbb{R}[x]$ tali che $f(p)=p^2+1$ per ogni $p$ primo.
Determinare tutti i polinomi $f\in\mathbb{R}[x]$ tali che $f(n)=n$ per ogni $n\in\mathbb{N}$, e tutti i polinomi $f\in\mathbb{R}[x]$ tali che $f(p)=p^2+1$ per ogni $p$ primo.
Risposte
1) Sia $f(x)=a_n x^n+ \cdots a_1x+a_0$ un generico polinomio di grado $n$ in $RR$.
$f(0)=0$ dunque $a_0=0$, inoltre $f$ deve soddisfare la seguente proprietà implicitamente richiesta:
$f(n+m)=f(n)+f(m)\ \forall n,m \in NN$
che non è soddisfatta in generale per polinomi di grado superiore al primo (con $a_0=0$, ricordiamo), infatti basta prendere un naturale $N$ sufficientemente grande tale che $f(N)~N^n$. Quindi $f(x)=x$.
O anche, si dimostra considerando non identicamente nullo il polinomio $f(x)-x$ e mostrando che quindi deve possedere infinite radici naturali distinte quando in realtà ne può possedere al più $n$ radici distinte (Teorema fondamentale dell'algebra), assurdo quindi $f(x)-x -=0$.
2) In maniera analogo al primo considerando non identicamente nullo $f(x)-x^2-1$
$f(0)=0$ dunque $a_0=0$, inoltre $f$ deve soddisfare la seguente proprietà implicitamente richiesta:
$f(n+m)=f(n)+f(m)\ \forall n,m \in NN$
che non è soddisfatta in generale per polinomi di grado superiore al primo (con $a_0=0$, ricordiamo), infatti basta prendere un naturale $N$ sufficientemente grande tale che $f(N)~N^n$. Quindi $f(x)=x$.
O anche, si dimostra considerando non identicamente nullo il polinomio $f(x)-x$ e mostrando che quindi deve possedere infinite radici naturali distinte quando in realtà ne può possedere al più $n$ radici distinte (Teorema fondamentale dell'algebra), assurdo quindi $f(x)-x -=0$.
2) In maniera analogo al primo considerando non identicamente nullo $f(x)-x^2-1$
Grazie mille 
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