Esercizio sui gruppi: sottogruppi normali

[NightKnight1]

Costruire tre gruppi $H,K,G$ tali che
1) $H \subseteq K \subseteq G$
2) $H$ sia normale in $K$
3) $K$ sia normale in $G$
4) $H$ NON sia normale in $G$

[miuemia]

pensa ad $S_n$ per un opportuno $n$.

[NightKnight1]

Ho letto che per n>4, l'unico sottogruppo normale non banale di $S_n$ è $A_n$.
Quindi basterebbe trovare un sottogruppo normale di $A_n$ per n>4.

[vict85]

"NightKnight":Ho letto che per n>4, l'unico sottogruppo normale non banale di $S_n$ è $A_n$.
Quindi basterebbe trovare un sottogruppo normale di $A_n$ per n>4.

$A_n$ con $n>=5$ è un gruppo semplice e non ha sottogruppi normali!

Il gruppo di klein con $A_4$ è l'unico caso in cui $A_n$ ha un sottogruppo normale.

[vict85]

Un esempio può essere il sottogruppo ciclico di $D_n$ (gruppo diedrale di ordine $2n$) con $n$ non primo. Se $n$ non è primo allora il gruppo ciclico ha un sottogruppo normale. E $C_n$ è normale in $D_n$ in quanto $[D_n\ :\ C_n] = 2$. Se non sbaglio il sottogruppo qualsiasi di $C_n$ non è normale in $D_n$ ma dovresti fare una prova.

[NightKnight1]

"vict85":Un esempio può essere il sottogruppo ciclico di $D_n$ (gruppo diedrale di ordine $2n$) con $n$ non primo. Se $n$ non è primo allora il gruppo ciclico ha un sottogruppo normale. E $C_n$ è normale in $D_n$ in quanto $[D_n\ :\ C_n] = 2$. Se non sbaglio il sottogruppo qualsiasi di $C_n$ non è normale in $D_n$ ma dovresti fare una prova.

No! Infatti:
sia $D_n$ il gruppo diedrale di ordine $2n$, cioè il gruppo delle isometrie del piano che lasciano fisso l' $n$-agono regolare centrato nell'origine. Sia $R$ il sottogruppo delle rotazioni di $D_n$; ovviamente $R$ è ciclico, ha ordine $n$ ed è normale in $D_n$ perché ha indice $2$.
Sia ora $T$ un sottogruppo di $R$. Vogliamo provare che $T$ è caratteristico in $R$, cioè che è invariante per ogni automorfismo di $R$. Sia $\phi$ un qualsiasi automorfismo di $R$, allora $\phi(T)$ è un sottogruppo di $R$ che ha la stessa cardinalità di $T$, quindi è $\phi(T)=T$ stesso perché in un gruppo ciclico finito, come $R$, non ci possono essere due sottogruppi diversi con la stesso numero di elementi; quindi $T$ è caratteristico in $R$.
Per ogni $g \in D_n$ consideriamo l'automorfismo interno associato a $g$:
$\phi_g : D_n -> D_n$
$ x |-> gxg^(-1)$
Osserviamo che $\forall g \in D_n \ \ phi_g (R)=gRg^(-1)=R$ perché $R$ è normale in $D_n$; quindi $\forall g \in D_n \ \ phi_g | _R$ è un automorfismo di $R$ e poichè $T$ è caratteristico in $R$ si ha:
$\forall g in D_n \ \ gTg^(-1)=phi_g (T)=phi_g | _R (T)=T$ e quindi $T$ è normale in $D_n$.
Perciò i sottogruppi costituiti da rotazioni sono normali in $D_n$.

[alvinlee881]

Esatto NightKnight, quanto detto da te è vero, in generale se $K \subseteq H \subseteq G$ sono gruppi, con $H$ normale in $G$, $K$ caratteristico in $H$, allora $K$ è normale in $G$. E la dimostrazione procede come hai fatto te.

Ecco però un esempio di quello che chiedevi:
Sia $G=D_4$ (gruppo diedrale di ordine $8$), generato come si sa da $r$ e da $s$, con $ord(r)=4$ e $ord(s)=2$, per cui vale la regola $sr=r^-1s$.
Sia $K$ il sottogruppo generato da $s$, ossia $K=$, e infine sia $H={e,s,r^2,r^2s}$. $H$ è un sottogruppo (si verifica facilmente che lo è) di indice $2$ in $G$, indi per cui è normale in $G$. Analogamente $K$ ha indice 2 in $H$, dunque è normale in $H$. Si vede però che $K$ non è normale in $G$, perchè ad esempio (nel seguito r è un generatore del gruppo delle rotazioni, quindi ha ordine $4$) $rK={r,rs}!={r,sr}=Kr$, perchè in caso contrario avremmo che $rs=sr$, da cui dovrebbe essere che $r=r^(-1)=>r^2=e$, contro l'ipotesi che $r$ generi il sottogruppo delle rotazioni. Quindi $K$ non è normale in $G$.

[vict85]

"NightKnight":[quote="vict85"]Un esempio può essere il sottogruppo ciclico di $D_n$ (gruppo diedrale di ordine $2n$) con $n$ non primo. Se $n$ non è primo allora il gruppo ciclico ha un sottogruppo normale. E $C_n$ è normale in $D_n$ in quanto $[D_n\ :\ C_n] = 2$. Se non sbaglio il sottogruppo qualsiasi di $C_n$ non è normale in $D_n$ ma dovresti fare una prova.

No! Infatti:
sia $D_n$ il gruppo diedrale di ordine $2n$, cioè il gruppo delle isometrie del piano che lasciano fisso l' $n$-agono regolare centrato nell'origine. Sia $R$ il sottogruppo delle rotazioni di $D_n$; ovviamente $R$ è ciclico, ha ordine $n$ ed è normale in $D_n$ perché ha indice $2$.
Sia ora $T$ un sottogruppo di $R$. Vogliamo provare che $T$ è caratteristico in $R$, cioè che è invariante per ogni automorfismo di $R$. Sia $\phi$ un qualsiasi automorfismo di $R$, allora $\phi(T)$ è un sottogruppo di $R$ che ha la stessa cardinalità di $T$, quindi è $\phi(T)=T$ stesso perché in un gruppo ciclico finito, come $R$, non ci possono essere due sottogruppi diversi con la stesso numero di elementi; quindi $T$ è caratteristico in $R$.
Per ogni $g \in D_n$ consideriamo l'automorfismo interno associato a $g$:
$\phi_g : D_n -> D_n$
$ x |-> gxg^(-1)$
Osserviamo che $\forall g \in D_n \ \ phi_g (R)=gRg^(-1)=R$ perché $R$ è normale in $D_n$; quindi $\forall g \in D_n \ \ phi_g | _R$ è un automorfismo di $R$ e poichè $T$ è caratteristico in $R$ si ha:
$\forall g in D_n \ \ gTg^(-1)=phi_g (T)=phi_g | _R (T)=T$ e quindi $T$ è normale in $D_n$.
Perciò i sottogruppi costituiti da rotazioni sono normali in $D_n$.[/quote]

hai ragione, non ci ho pensato molto...