Esercizio sui Gruppi di ordine 110!
Salve a tutti!
Volevo chiedervi un aiuto su alcuni esercizi della teoria dei gruppi. Riporto di seguito il testo:
Sia G un gruppo di ordine 110.
1) Verificare che se è abeliano allora è ciclico. In tal caso dire, per ogni divisore d di 110, quanti sono gli elementi di ordine d in G.
Nel caso in cui G non è abeliano:
2) Provare che in G vi è un unico sottogruppo H di ordine 11.
3)Provare che vi è un sottogruppo K di ordine 55 e che esso è unico di tale ordine.
4)Se vi è un solo elemento di ordine 2 quanti solo gli elementi di ordine 5?
5)Se vi è un solo sottogruppo di ordine 5 provare che vi è un elemento di ordine 55.
Allora del primo punto penso di aver dimostrato solo che è ciclico, ma per il resto non so come fare!(
Il secondo punto con Sylow è abbastanza semplice, e nel terzo punto ho dimostrato che esiste un sottogruppo di ordine 55 ma non riesco a dimostrare che è unico!
Il quarto e il quinto buio totale!
Grazie in anticipo
Volevo chiedervi un aiuto su alcuni esercizi della teoria dei gruppi. Riporto di seguito il testo:
Sia G un gruppo di ordine 110.
1) Verificare che se è abeliano allora è ciclico. In tal caso dire, per ogni divisore d di 110, quanti sono gli elementi di ordine d in G.
Nel caso in cui G non è abeliano:
2) Provare che in G vi è un unico sottogruppo H di ordine 11.
3)Provare che vi è un sottogruppo K di ordine 55 e che esso è unico di tale ordine.
4)Se vi è un solo elemento di ordine 2 quanti solo gli elementi di ordine 5?
5)Se vi è un solo sottogruppo di ordine 5 provare che vi è un elemento di ordine 55.
Allora del primo punto penso di aver dimostrato solo che è ciclico, ma per il resto non so come fare!(
Il secondo punto con Sylow è abbastanza semplice, e nel terzo punto ho dimostrato che esiste un sottogruppo di ordine 55 ma non riesco a dimostrare che è unico!
Il quarto e il quinto buio totale!
Grazie in anticipo
Risposte
Non sono per niente un esperto, ma provo a rispondere via via ai quesiti se sono in grado, sperando di non dire cose inesatte.
Se $G$ è abeliano allora $G \cong ZZ_110 \cong ZZ_2 \times ZZ_5 \times ZZ_11$.
Ciò dimostra che è ciclico, ed inoltre hai $phi(2)=1$ elementi di periodo $2$, $phi(5)=4$ elementi di periodo $5$ e $phi(11)=10$ elementi di periodo $11$.
Se $G$ è abeliano allora $G \cong ZZ_110 \cong ZZ_2 \times ZZ_5 \times ZZ_11$.
Ciò dimostra che è ciclico, ed inoltre hai $phi(2)=1$ elementi di periodo $2$, $phi(5)=4$ elementi di periodo $5$ e $phi(11)=10$ elementi di periodo $11$.
Grazie per l'aiuto!
Ma come si determinano gli elementi di un dato ordine? Con Eulero?
E poi gli elementi di ordine 10,22,55 come li calcolo sempre con Eulero?
Ma come si determinano gli elementi di un dato ordine? Con Eulero?
E poi gli elementi di ordine 10,22,55 come li calcolo sempre con Eulero?
Se hai un gruppo ciclico $ZZ_n$ allora gli elementi coprimi con $n$ sono in numero $phi(n)$ e sono i generatori di $ZZ_n$.
Anche quindi per $ZZ_10$ hai $phi(10)=4$ elementi di ordine $10$ e così via... considera anche che $phi$ è moltiplicativa quindi ti basterà moltiplicare i valori che vevo determinato sopra per ottenere il numero di tutti i divisori.
Ho provato a fare il punto 4)
Se vi è un solo elemento di ordine $2$ allora detto $H$ il $2$-sylow di $G$, si ha che anche esso è normale. Quindi $N$ il $5$-Sylow di $G$ non può essere unico, perchè altrimenti G sarebbe abeliano. L'altra possibilità rimasta è che $n_5=11$. Quindi abbiamo $4*11=44$ elementi di ordine $5$
Per il punto 2) se hai dimostrato che tale gruppo $K$ esiste allora puoi subito dedurre che è unico, poichè ha indice $2$, quindi è normale.
Anche quindi per $ZZ_10$ hai $phi(10)=4$ elementi di ordine $10$ e così via... considera anche che $phi$ è moltiplicativa quindi ti basterà moltiplicare i valori che vevo determinato sopra per ottenere il numero di tutti i divisori.
Ho provato a fare il punto 4)
Se vi è un solo elemento di ordine $2$ allora detto $H$ il $2$-sylow di $G$, si ha che anche esso è normale. Quindi $N$ il $5$-Sylow di $G$ non può essere unico, perchè altrimenti G sarebbe abeliano. L'altra possibilità rimasta è che $n_5=11$. Quindi abbiamo $4*11=44$ elementi di ordine $5$
Per il punto 2) se hai dimostrato che tale gruppo $K$ esiste allora puoi subito dedurre che è unico, poichè ha indice $2$, quindi è normale.
Nel punto 4) dopo che trovi che di 5-Sylow ce ne sono 11 come mai dici che di ordine 5 ce ne sono 44? Ciò perchè lo moltiplichi per 4?
Nel punto 3) (penso intendevi quello non il 2) il teorema dice che se un sottogruppo ha ordine la metà dell'ordine del gruppo allora è normale, ma come faccio ad affermare che è unico?
Nel punto 3) (penso intendevi quello non il 2) il teorema dice che se un sottogruppo ha ordine la metà dell'ordine del gruppo allora è normale, ma come faccio ad affermare che è unico?
Abbiamo detto, per il post precedente che gli elementi di periodo $5$ in un gruppo ciclico di ordine primo sono $phi(5)=4$. Quindi abbiamo $4$ elementi di periodo $5$. Inoltre se due gruppi ciclici di ordine primo hanno un elemento in comune allora essi coincidono, quindi $4*11=44$
Vale in generale questa proposizione:
$P$ è l'unico p-Sylow di $G$ $hArr$ $P$ è normale in $G$.
Ed è abbastanza semplice da provare, sapendo che tutti i $p$-sylow sono coniugati tra loro.
Per gli altri quesiti ho visto che hai letto e risposto sul thread di steven
Vale in generale questa proposizione:
$P$ è l'unico p-Sylow di $G$ $hArr$ $P$ è normale in $G$.
Ed è abbastanza semplice da provare, sapendo che tutti i $p$-sylow sono coniugati tra loro.
Per gli altri quesiti ho visto che hai letto e risposto sul thread di steven
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