Esercizio sui gruppi ciclici
Buongiorno a tutti.
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere questo esercizio sui gruppi ciclici.
ESERCIZIO
Provare che $C_13 X C_6$ è ciclico, determinare i suoi generatori e provare che $phi(13*6) = phi(13) * phi(6)$
RISOLUZIONE
Dunque, per la prima parte ho semplicemente osservato che 13 e 6 sono coprimi, e il prodotto diretto di gruppi ciclici di ordine $p$ e $q$ è ciclico se e solo se $p$ e $q$ sono coprimi. Quindi $C_13 X C_6$ è ciclico.
Prima domanda: prima d'ora negli esercizi a lezione non abbiamo mai usato questa proprietà; di solito si scriveva il gruppo prodotto e si guardavano gli ordini dei singoli elementi. In questo caso però, visti gli ordini dei gruppi, non mi sembra il caso: il gruppo prodotto avrebbe 13x6 elementi....
Esiste un altro modo di risolvere questa prima parte?
Per la seconda parte ho iniziato valutando i generatori dei singoli gruppi $C_13$ e $C_6$:
$C_13= {e_a,a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^(10), a^(11), a^(12)}$
I generatori sono gli elementi avente esponente coprimo con l'ordine del gruppo (credo) e quindi tutti meno $e_a=a^0$, cioè l'elemento neutro del gruppo.
$C_6= {e_b, b, b^2, b^3, b^4, b^5}$
I generatori sono $b, b^5$
Ora, a occhio direi che i generatori del gruppo prodotto dovrebbero essere le coppie $(a^n, b^m)$ tali che $a^n$ è generatore di $C_13$ e $b^m$ è generatore di $C_6$
In effetti l'ordine di tutti queste coppie è il mcm tra l'ordine del primo elemento della coppia e l'ordine del secondo; poichè i due elementi sono generatori dei gruppi ciclici $C_13$ e $C_6$ avranno ordine rispettivamente 13 e 6; il prodotto è proprio la cardinalità del gruppo $C_13 X C_6$ .
Come va fino a qui?
Mi scuso per eventuali (e molto probabili) scempiaggini
Buona giornata e grazie!
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere questo esercizio sui gruppi ciclici.
ESERCIZIO
Provare che $C_13 X C_6$ è ciclico, determinare i suoi generatori e provare che $phi(13*6) = phi(13) * phi(6)$
RISOLUZIONE
Dunque, per la prima parte ho semplicemente osservato che 13 e 6 sono coprimi, e il prodotto diretto di gruppi ciclici di ordine $p$ e $q$ è ciclico se e solo se $p$ e $q$ sono coprimi. Quindi $C_13 X C_6$ è ciclico.
Prima domanda: prima d'ora negli esercizi a lezione non abbiamo mai usato questa proprietà; di solito si scriveva il gruppo prodotto e si guardavano gli ordini dei singoli elementi. In questo caso però, visti gli ordini dei gruppi, non mi sembra il caso: il gruppo prodotto avrebbe 13x6 elementi....
Esiste un altro modo di risolvere questa prima parte?
Per la seconda parte ho iniziato valutando i generatori dei singoli gruppi $C_13$ e $C_6$:
$C_13= {e_a,a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^(10), a^(11), a^(12)}$
I generatori sono gli elementi avente esponente coprimo con l'ordine del gruppo (credo) e quindi tutti meno $e_a=a^0$, cioè l'elemento neutro del gruppo.
$C_6= {e_b, b, b^2, b^3, b^4, b^5}$
I generatori sono $b, b^5$
Ora, a occhio direi che i generatori del gruppo prodotto dovrebbero essere le coppie $(a^n, b^m)$ tali che $a^n$ è generatore di $C_13$ e $b^m$ è generatore di $C_6$
In effetti l'ordine di tutti queste coppie è il mcm tra l'ordine del primo elemento della coppia e l'ordine del secondo; poichè i due elementi sono generatori dei gruppi ciclici $C_13$ e $C_6$ avranno ordine rispettivamente 13 e 6; il prodotto è proprio la cardinalità del gruppo $C_13 X C_6$ .
Come va fino a qui?
Mi scuso per eventuali (e molto probabili) scempiaggini
Buona giornata e grazie!
Risposte
è tutto giusto.
Grazie 
Per la parte del $phi$ come potrei procedere?
Cioè...la funzione di Eulero è debolmente moltiplicativa, quindi tale risultato è banale.
Semmai posso averne conferma mostrando che, dato che $phi(n)$ è il numero di generatori del gruppo ciclico $C_n$, nel caso di $C_13 X C_6$ i generatori sono proprio $12 *2 = phi(13) * phi(6)$ , ma non è sta gran dimostrazione...
Grazie mille dell'aiuto
Buon pomeriggio.
Per la parte del $phi$ come potrei procedere?
Cioè...la funzione di Eulero è debolmente moltiplicativa, quindi tale risultato è banale.
Semmai posso averne conferma mostrando che, dato che $phi(n)$ è il numero di generatori del gruppo ciclico $C_n$, nel caso di $C_13 X C_6$ i generatori sono proprio $12 *2 = phi(13) * phi(6)$ , ma non è sta gran dimostrazione...
Grazie mille dell'aiuto
Buon pomeriggio.
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