Esercizio sui gruppi
Ciao a tutti ragazzi, in previsione di un esame di algebra e logica mi sono imbattuto in questo esercizio:
Dato un gruppo [tex]G= \mathbb{Z}3 X \mathbb{Z}6
[/tex] Trovare la sua tabella moltiplicativa e la tabella dei caratteri, dove per caratteri si intende un omomorfismo di gruppi [tex]χ : G \rightarrow \mathbb{C}[/tex]
Dove con Z3 e Z6 si intendono gruppi moltiplicativi con elementi primi a n senza lo 0 cioé [tex]\mathbb{Z}3={1,2} e \mathbb{Z}6 = {1,5}[/tex]
La prima cosa che mi è venuta in mente è trovare il gruppo isomorfo del prodotto, ma in questo caso avrei che i due gruppi non sono formati da numeri p primi tra loro, cioè 3 e 6, e quindi il gruppo risultante non sia ciclico giusto? Come posso fare?
Dato un gruppo [tex]G= \mathbb{Z}3 X \mathbb{Z}6
[/tex] Trovare la sua tabella moltiplicativa e la tabella dei caratteri, dove per caratteri si intende un omomorfismo di gruppi [tex]χ : G \rightarrow \mathbb{C}[/tex]
Dove con Z3 e Z6 si intendono gruppi moltiplicativi con elementi primi a n senza lo 0 cioé [tex]\mathbb{Z}3={1,2} e \mathbb{Z}6 = {1,5}[/tex]
La prima cosa che mi è venuta in mente è trovare il gruppo isomorfo del prodotto, ma in questo caso avrei che i due gruppi non sono formati da numeri p primi tra loro, cioè 3 e 6, e quindi il gruppo risultante non sia ciclico giusto? Come posso fare?
Risposte
Quindi , per $ZZ_6,ZZ_3$ intendi $U(ZZ_6) , U(ZZ_3)$ , giusto?!
Prendi le cose che dico con le pinze , sono abbastanza "new entry" per la materia.
. Ci provo.
Beh Senz'altro $(ZZ_3 X ZZ_6, +)$ non è ciclico, infatti puoi trovare solo elementi di periodo 3 al suo interno.
Tuttavia , considera $U(ZZ_3) = { 1,2}}$
Se consideriamo $ (U(ZZ_3),*) $ questo è ciclico ! infatti 2 ha periodo proprio due che è la cardinalità dell'insieme.
considera $U(ZZ_6) = { 1,5}}$. Anche questo è ciclico e generato da 5!
Ora $ G= U(ZZ_3) X U(ZZ_6) = {(a,b) | a in U(ZZ_3), b in U(ZZ_6)}$
tale insieme ha cardinalità 4.
Ma credo proprio che non sia ciclico.
non vorrei sbagliarmi ma forse forse $ U(ZZ_3) X U(ZZ_6)$ è isomorfo a $ZZ_2 X ZZ_2$ .. Se non mi sbaglio.
Ora tu hai $\phi : G -> CC$ Omomorfismo. Qual'è il problema ? trovarne 1?
Una volta appurato che $(U(ZZ_3) X U(ZZ_6), *)$ è iso a $ZZ_2_XZZ_2$ Additivamente
ti basta trovare un omomorfismo tra $ZZ_2XZZ_2 $ e $ CC$...
Prendi le cose che dico con le pinze , sono abbastanza "new entry" per la materia.
. Ci provo.Beh Senz'altro $(ZZ_3 X ZZ_6, +)$ non è ciclico, infatti puoi trovare solo elementi di periodo 3 al suo interno.
Tuttavia , considera $U(ZZ_3) = { 1,2}}$
Se consideriamo $ (U(ZZ_3),*) $ questo è ciclico ! infatti 2 ha periodo proprio due che è la cardinalità dell'insieme.
considera $U(ZZ_6) = { 1,5}}$. Anche questo è ciclico e generato da 5!
Ora $ G= U(ZZ_3) X U(ZZ_6) = {(a,b) | a in U(ZZ_3), b in U(ZZ_6)}$
tale insieme ha cardinalità 4.
Ma credo proprio che non sia ciclico.
non vorrei sbagliarmi ma forse forse $ U(ZZ_3) X U(ZZ_6)$ è isomorfo a $ZZ_2 X ZZ_2$ .. Se non mi sbaglio.
Ora tu hai $\phi : G -> CC$ Omomorfismo. Qual'è il problema ? trovarne 1?
Una volta appurato che $(U(ZZ_3) X U(ZZ_6), *)$ è iso a $ZZ_2_XZZ_2$ Additivamente
ti basta trovare un omomorfismo tra $ZZ_2XZZ_2 $ e $ CC$...
Si i gruppi sono esattamente quelli, forse mi sono spiegato male io, cioè $ (Z3,*) ={1,2} $ e $ (Z6,*) ={1,5} $.
L'esercizio richiede di trovare la tabella moltiplicativa, quindi in questo fare l'isomorfismo tra gli elementi dei due gruppi nel gruppo risultante G e poi scrivere la tabella dei caratteri.
Il mio dubbio siccome di questi esercizi nn ne ho mai visti, ma ho sempre lavorato su un gruppo solo e mai con un prodotto di gruppi, non saprei se impostare l'esercizio trovando il gruppo isomorfo tra questi due o lavorare praticamente con le coppie! bho! e poi a cosa sarebbe isomorfo visto che 3 e 6 non sono primi tra loro non potrei nemmeno applicare il teorema cinese dei resti per trovare subito il gruppo prodotto, come ragiono?
L'esercizio richiede di trovare la tabella moltiplicativa, quindi in questo fare l'isomorfismo tra gli elementi dei due gruppi nel gruppo risultante G e poi scrivere la tabella dei caratteri.
Il mio dubbio siccome di questi esercizi nn ne ho mai visti, ma ho sempre lavorato su un gruppo solo e mai con un prodotto di gruppi, non saprei se impostare l'esercizio trovando il gruppo isomorfo tra questi due o lavorare praticamente con le coppie! bho! e poi a cosa sarebbe isomorfo visto che 3 e 6 non sono primi tra loro non potrei nemmeno applicare il teorema cinese dei resti per trovare subito il gruppo prodotto, come ragiono?
Per prodotto intendi prodotto diretto?
Beh come detto in precedenza,
$U(Z_3) X U (Z_6) = { (a,b) | a in U(ZZ_3) , b in U(ZZ_6) }= {([1]_3,[1]_6) , ([1]_3,[5]_6) , ([2]_3,[1]_6) , ([2]_3,[5]_6) } $
$(U(Z_3) X U (Z_6) , *)$ è un gruppo, detto prodotto diretto delle unità di $ZZ_3$ e $ZZ_6$
$*$ è la moltiplicazione componente per componente.
Beh per costruirti la tabella moltiplicativa, devi semplicemente costruirti una tabella, e moltiplicare componente per componente e scriverti i valori.
Hai ragione nel dire che 3,6 non sono coprimi e che quindi
$ZZ_3 X ZZ_6$ non è isomorfo a $ZZ_18$ e che di conseguenza $(U(Z_3) X U (Z_6)$ non è isomorfo a $U(ZZ_18)$ quindi , si non puoi utilizzare l'isomorfismo dettato dal teorema cinese del resto.
Però nota che la cardinalità di $U(Z_3) X U (Z_6)$ è quattro.
come gruppo moltiplicativo non è ciclico. (verifica! tutti gli elementi hanno periodo due.).
Pertanto se proprio cerchi un isomorfismo questo non è $(ZZ_4,+)$ perché è ciclico di ordine 4.
Infatti $<[1]_4> = ZZ_4$.
Nota invece $(ZZ_2 XZZ_2 , +) $ questo non è ciclico ed ha cardinalità 4!
I gruppi di cardinalità 4 sono essenzialmente 2.
Quelli ciclici e quelli non ciclici.
Cioè per scrivere la tabella di un gruppo di 4 elementi esistono essenzialmente 2 modi.
Quelli che esprimono un gruppo ciclico e quelleche non esprimono un gruppo ciclico.
Di conseguenza $ (ZZ_2 X ZZ_2 , +) $ è iso al tuo gruppo.
Beh come detto in precedenza,
$U(Z_3) X U (Z_6) = { (a,b) | a in U(ZZ_3) , b in U(ZZ_6) }= {([1]_3,[1]_6) , ([1]_3,[5]_6) , ([2]_3,[1]_6) , ([2]_3,[5]_6) } $
$(U(Z_3) X U (Z_6) , *)$ è un gruppo, detto prodotto diretto delle unità di $ZZ_3$ e $ZZ_6$
$*$ è la moltiplicazione componente per componente.
Beh per costruirti la tabella moltiplicativa, devi semplicemente costruirti una tabella, e moltiplicare componente per componente e scriverti i valori.
Hai ragione nel dire che 3,6 non sono coprimi e che quindi
$ZZ_3 X ZZ_6$ non è isomorfo a $ZZ_18$ e che di conseguenza $(U(Z_3) X U (Z_6)$ non è isomorfo a $U(ZZ_18)$ quindi , si non puoi utilizzare l'isomorfismo dettato dal teorema cinese del resto.
Però nota che la cardinalità di $U(Z_3) X U (Z_6)$ è quattro.
come gruppo moltiplicativo non è ciclico. (verifica! tutti gli elementi hanno periodo due.).
Pertanto se proprio cerchi un isomorfismo questo non è $(ZZ_4,+)$ perché è ciclico di ordine 4.
Infatti $<[1]_4> = ZZ_4$.
Nota invece $(ZZ_2 XZZ_2 , +) $ questo non è ciclico ed ha cardinalità 4!
I gruppi di cardinalità 4 sono essenzialmente 2.
Quelli ciclici e quelli non ciclici.
Cioè per scrivere la tabella di un gruppo di 4 elementi esistono essenzialmente 2 modi.
Quelli che esprimono un gruppo ciclico e quelleche non esprimono un gruppo ciclico.
Di conseguenza $ (ZZ_2 X ZZ_2 , +) $ è iso al tuo gruppo.
I gruppi abeliani sono MOLTO prevedibili: \(\displaystyle \mathbb{Z}^*_3\times\mathbb{Z}^*_6 \cong \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 \).
Per farlo comunque non serve neanche scomodare il teorema di struttura ( vale a dire che ogni gruppo abeliano finito è prodotto diretto di gruppi ciclici di ordine un primo): l'isomorfismo è piuttosto banale perché, a meno di isomorfismi, esiste un solo sottogruppo di ordine \(\displaystyle 2 \) (chi ha dubbi provi a dimostrarlo).
Il prodotto diretto inoltre non dà problemi perché stai sostituendo ad un suo componente un elemento ad esso isomorfo.
Per farlo comunque non serve neanche scomodare il teorema di struttura ( vale a dire che ogni gruppo abeliano finito è prodotto diretto di gruppi ciclici di ordine un primo): l'isomorfismo è piuttosto banale perché, a meno di isomorfismi, esiste un solo sottogruppo di ordine \(\displaystyle 2 \) (chi ha dubbi provi a dimostrarlo).
Il prodotto diretto inoltre non dà problemi perché stai sostituendo ad un suo componente un elemento ad esso isomorfo.
Mmmm credo di non aver capito bene, ma in questo il tuo $ ZZ*2 $ non ha 1 solo elemento e cioè {1} mentre sia $ ZZ3 $ che $ ZZ6 $ hanno due elementi? Non capisco il perchè xD
scusate ma nn riesco a fare gli asterischi e i pedici fatti per bene xD
$(U(ZZ_3) X U (ZZ_6),*) $ è isomorfo a $ (ZZ_2 X ZZ_2 , +)$.
Dov'è il problema?
$ZZ_2 X ZZ_2$ è proprio il prodotto diretto di $ZZ_2$ per se stesso. e ha quattro elementi.
$ZZ_2XZZ_2 = { (a,b) | a in ZZ_2 , b in ZZ_2} ={ (0,0) , (1,1) , (0,1) , (1,0) }$ ed ha quattro elementi.
Cosa non ti convince? che un gruppo additivo possa essere isomorfo ad un gruppo moltiplicativo?
Dov'è il problema?
$ZZ_2 X ZZ_2$ è proprio il prodotto diretto di $ZZ_2$ per se stesso. e ha quattro elementi.
$ZZ_2XZZ_2 = { (a,b) | a in ZZ_2 , b in ZZ_2} ={ (0,0) , (1,1) , (0,1) , (1,0) }$ ed ha quattro elementi.
Cosa non ti convince? che un gruppo additivo possa essere isomorfo ad un gruppo moltiplicativo?
Ah nono ecco non mi convinceva il fatto che Z2 potesse avere due elementi, perchè il prof a lezione ha sempre considerato $ ZZ2 ={1} $ e $ ZZ3 ={1,2} $ cioè tutti i numeri primi rispetto a n senza lo 0.
Come già detto prima quelli sono le unità dell'anello $ZZ_n$....
e formano un gruppo moltiplicativo
e formano un gruppo moltiplicativo
"Primavera":
Ah nono ecco non mi convinceva il fatto che Z2 potesse avere due elementi, perchè il prof a lezione ha sempre considerato $ ZZ2 ={1} $ e $ ZZ3 ={1,2} $ cioè tutti i numeri primi rispetto a n senza lo 0.
Senza lo 0 non formano un gruppo.
Vict dipende dall'operazione che gli attribuisci. Penso ci sia solo un male utilizzo di notazione.
Gli insiemi definiti da Primavera sono un gruppo solocon la moltiplicazione. Ma non si riferiscono a $ZZ_3 , ZZ_6$ ordinari, ma alle unità dei suddetti anelli.
Nota :
se con $ZZ_3 = { 0,1,2}$ <.-- si intende questo allora , $ (ZZ_3,+)$ è un gruppo.
Mentre $ (ZZ_3,*)$ No. lo zero non è invertibile.
Se poi con $ZZ_3 = {1,2}$ <-- si intende questo allora $ (ZZ_3,+)$ non è un gruppo.
Infatti , semplice controesempio $1+2 = 0 notin ZZ_3$
Mentre $ (ZZ_3,*)$ lo è.
Lo stesso vale per $ZZ_6$.
Quindi primavera,cambia notazione , è un consiglio.
Quello che tu chiami $ZZ_3 , ZZ_6$ Sono $U(ZZ_6) ,U(ZZ_3)$ che sono diversi, diversissime come cose.
Anche se da come parli Primavera, forse non hai ben chiaro cos'è l'entità $ZZ_n$
Se pensi bene alla sua definizione, forse ti accorgi da solo , che quello che tu definisci , forse forse non è proprio proprio $ZZ_n$
Gli insiemi definiti da Primavera sono un gruppo solocon la moltiplicazione. Ma non si riferiscono a $ZZ_3 , ZZ_6$ ordinari, ma alle unità dei suddetti anelli.
Nota :
se con $ZZ_3 = { 0,1,2}$ <.-- si intende questo allora , $ (ZZ_3,+)$ è un gruppo.
Mentre $ (ZZ_3,*)$ No. lo zero non è invertibile.
Se poi con $ZZ_3 = {1,2}$ <-- si intende questo allora $ (ZZ_3,+)$ non è un gruppo.
Infatti , semplice controesempio $1+2 = 0 notin ZZ_3$
Mentre $ (ZZ_3,*)$ lo è.
Lo stesso vale per $ZZ_6$.
Quindi primavera,cambia notazione , è un consiglio.
Quello che tu chiami $ZZ_3 , ZZ_6$ Sono $U(ZZ_6) ,U(ZZ_3)$ che sono diversi, diversissime come cose.
Anche se da come parli Primavera, forse non hai ben chiaro cos'è l'entità $ZZ_n$
Se pensi bene alla sua definizione, forse ti accorgi da solo , che quello che tu definisci , forse forse non è proprio proprio $ZZ_n$
X Kashaman: Hai ragione, quelli sono i gruppi moltiplicativi degli anelli \(\displaystyle \mathbb{Z}_n \). Comunque tradizionalmente \(\displaystyle \mathbb{Z}_n \) si riferisce al gruppo ciclico con la somma.
"vict85":
X Kashaman: Hai ragione, quelli sono i gruppi moltiplicativi degli anelli \(\displaystyle \mathbb{Z}_n \). Comunque tradizionalmente \(\displaystyle \mathbb{Z}_n \) si riferisce al gruppo ciclico con la somma.
Esattamente.
In particolare
$ZZ_n = <[k]_n> : (k,n)=1$ Mentre
$(U(ZZ_n) , *)$ in generale, non ècicliclo
Si, esattamente. Comunque personalmente trovo che passare troppo tempo su questi gruppi sia un po' eccessivo, ma forse è solo che ormai conosco così tanto i gruppi da vederli come banalità. Queste comunque sono cose più per studiosi di anelli che per teorici dei gruppi (e le notazioni sono molto varie*).
* tanto che ognuno di noi ha usato notazioni diverse
* tanto che ognuno di noi ha usato notazioni diverse
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