Esercizio sui gruppi
Ciao a tutti volevo sapere se il raggionamento che ho fatto su questo esercizio è valido
Decidere se Z rispetto all'operazione a°b = a+b+1 è un gruppo
Allora
1 Un gruppo è un insieme G di elementi dotato di una operazione binaria *.
In questo caso l'insieme è formato dagli elementi di Z.
2 deve soddisfare delle proprietà
a) associatività (a*b)*c = a*(b*c) per ogni a,b,c € G.
nel mio caso l'operazione a+b+1 è associativa a+(b+1)=(a+b)+1=1+(a+b)
b) Deve esistere un elemento e € G neutro rispetto all'operazione
nel mio caso l'elemento neutro è l'elemento 0 dato che a+0 = a , b+0 = b , 1+0 = 1
c) Per ogni a € G esiste un elemento a' € G tale che a*a' = a'*a = e
nel mio caso l'elemento inverso di a si ha dato che l'insieme è Z esempio a = 2 a' = -2 a+b=0=e ma dato che l'operazione
è definita a°b = a+b+1 non ci sarà mai un inverso di un numero che mi restituisce l'elemento neutro rispetto all'operazione.
conclusione non è un gruppo!
Decidere se Z rispetto all'operazione a°b = a+b+1 è un gruppo
Allora
1 Un gruppo è un insieme G di elementi dotato di una operazione binaria *.
In questo caso l'insieme è formato dagli elementi di Z.
2 deve soddisfare delle proprietà
a) associatività (a*b)*c = a*(b*c) per ogni a,b,c € G.
nel mio caso l'operazione a+b+1 è associativa a+(b+1)=(a+b)+1=1+(a+b)
b) Deve esistere un elemento e € G neutro rispetto all'operazione
nel mio caso l'elemento neutro è l'elemento 0 dato che a+0 = a , b+0 = b , 1+0 = 1
c) Per ogni a € G esiste un elemento a' € G tale che a*a' = a'*a = e
nel mio caso l'elemento inverso di a si ha dato che l'insieme è Z esempio a = 2 a' = -2 a+b=0=e ma dato che l'operazione
è definita a°b = a+b+1 non ci sarà mai un inverso di un numero che mi restituisce l'elemento neutro rispetto all'operazione.
conclusione non è un gruppo!
Risposte
Cerca di scrivere con le formule, diventa tutto più comprensibile.
Hai fatto tantissima confusione e non ha senso ciò che hai scritto, adesso cerco di darti una mano.
la tua operazione è [tex]a ° b[/tex].
non è [tex]+[/tex].
quindi devi verificare:
1) associatività ovvero [tex](a°b)°c = a° (b°c)[/tex]
il primo membro diventa [tex](a+b+1)°c = (a+b+1)+c+1 = a+b+c+2[/tex]
e il secondo diventa [tex]a°(b+c+1) = a+(b+c+1)+1 = a+b+c+2[/tex]
quindi sono uguali ed è associativa.
spero tu abbia capito il senso di ciò che ho fatto.
Poi devi provare le altre proprietà:
2) Esiste [tex]e \in \mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]a°e = e°a =a[/tex] per ogni [tex]a \in \mathbb{Z}[/tex].
e dovrai anche trovare tale [tex]e[/tex].
3) Per ogni [tex]a \in \mathbb{Z}[/tex] esiste [tex]a' \in \mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]a°a' = a'°a =e[/tex].
non confonderti e traduci sempre l'espressione [tex]a°b[/tex] nel suo corrispettivo con la somma, che è di più facile comprensione.
Hai fatto tantissima confusione e non ha senso ciò che hai scritto, adesso cerco di darti una mano.
la tua operazione è [tex]a ° b[/tex].
non è [tex]+[/tex].
quindi devi verificare:
1) associatività ovvero [tex](a°b)°c = a° (b°c)[/tex]
il primo membro diventa [tex](a+b+1)°c = (a+b+1)+c+1 = a+b+c+2[/tex]
e il secondo diventa [tex]a°(b+c+1) = a+(b+c+1)+1 = a+b+c+2[/tex]
quindi sono uguali ed è associativa.
spero tu abbia capito il senso di ciò che ho fatto.
Poi devi provare le altre proprietà:
2) Esiste [tex]e \in \mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]a°e = e°a =a[/tex] per ogni [tex]a \in \mathbb{Z}[/tex].
e dovrai anche trovare tale [tex]e[/tex].
3) Per ogni [tex]a \in \mathbb{Z}[/tex] esiste [tex]a' \in \mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]a°a' = a'°a =e[/tex].
non confonderti e traduci sempre l'espressione [tex]a°b[/tex] nel suo corrispettivo con la somma, che è di più facile comprensione.
Uoo.. ok, c'è un po' di confusione qui. 
L'operazione è: $a@b:=a+b+1$, dove $+$ indica l'usuale somma in $ZZ$.
Mentre scrivo ho visto che blackbishop ha appena commentato quindi ti rimando a quello che ha scritto lui.
Mi limito a dire che ragionamento si scrive con una g.
L'operazione è: $a@b:=a+b+1$, dove $+$ indica l'usuale somma in $ZZ$.
Mentre scrivo ho visto che blackbishop ha appena commentato quindi ti rimando a quello che ha scritto lui.
Mi limito a dire che ragionamento si scrive con una g.
blackbishop13 grazie per la tua risposta mi scuso ma sono stato molto male e non ho potuto consultare il forum comunque ora farò come dici e vi farò sapere per ulteriori problemi....GRAZIE!!!!!!!
per le formule come si scrivono non ho capito?
per le formule come si scrivono non ho capito?
per ora sto svolgendo così
l'operazione è $a°a=a+b+1$
1)come mostrato dalla risposta di blackbishop13 l'operazione è associativa
2)ora si deve verificare che esiste un elemento neutro rispetto all'operazione
tale che $a°ℯ=a$ e $ℯ°a=a$ per ogni $a ∊ Z$
quindi il mio elemento a della definizione è $a = (a+1)$
$(a+1)°ℯ = (a+1)+ℯ+1=a+ℯ+2$
mentre
$ℯ°(a+1) = ℯ+(a+1)+1 = ℯ+a+2
ora $a+ℯ+2 = ℯ+a+2$
risulta $a-a+2-2+ℯ=ℯ$
$ℯ=ℯ$
$ℯ-ℯ=0$
almento questa volta spero di non aver sbagliato!
$0=0$
allora l'elemento neutro è $ℯ=0$
l'operazione è $a°a=a+b+1$
1)come mostrato dalla risposta di blackbishop13 l'operazione è associativa
2)ora si deve verificare che esiste un elemento neutro rispetto all'operazione
tale che $a°ℯ=a$ e $ℯ°a=a$ per ogni $a ∊ Z$
quindi il mio elemento a della definizione è $a = (a+1)$
$(a+1)°ℯ = (a+1)+ℯ+1=a+ℯ+2$
mentre
$ℯ°(a+1) = ℯ+(a+1)+1 = ℯ+a+2
ora $a+ℯ+2 = ℯ+a+2$
risulta $a-a+2-2+ℯ=ℯ$
$ℯ=ℯ$
$ℯ-ℯ=0$
almento questa volta spero di non aver sbagliato!
$0=0$
allora l'elemento neutro è $ℯ=0$
L'operazione è $a°b=a+b+1$
Si deve verificare che esiste un elemento neutro $e$ rispetto all'operazione $°$ tale che $a°e=a$ e $e°a=a$ per ogni $a ∊ Z$
E' $a°e=a+e+1$ e perchè ciò sia uguale ad $a$ dovrà essere $a+e+1=a$ ossia $e=-1$
Ok?
Si deve verificare che esiste un elemento neutro $e$ rispetto all'operazione $°$ tale che $a°e=a$ e $e°a=a$ per ogni $a ∊ Z$
E' $a°e=a+e+1$ e perchè ciò sia uguale ad $a$ dovrà essere $a+e+1=a$ ossia $e=-1$
Ok?
Allora vediamo
Esiste questo elemento $e∊Z $ tale che $a°e=e°a=a$ per ogni $a∊Z$
quindi: la mia operazione è $a°b=a+b+1$
applicando mi trovo due ugualianze:
$a+e+1=a$ risolvo $a+e=-1+a$ diventa $a-a+e=-1$ quindi $e=-1$
l'altra
$e+a+1=a$ risolvo $e+a=-1+a$ diventa $e+a-a=-1$ quindi $e=-1$
quindi l'elemento neutro $e∊Z$ è $e=-1$
giusto?
Esiste questo elemento $e∊Z $ tale che $a°e=e°a=a$ per ogni $a∊Z$
quindi: la mia operazione è $a°b=a+b+1$
applicando mi trovo due ugualianze:
$a+e+1=a$ risolvo $a+e=-1+a$ diventa $a-a+e=-1$ quindi $e=-1$
l'altra
$e+a+1=a$ risolvo $e+a=-1+a$ diventa $e+a-a=-1$ quindi $e=-1$
quindi l'elemento neutro $e∊Z$ è $e=-1$
giusto?
già che ci sono posto anche l'ultima proprietà che deve rispettare l'operazione:
Per ogni $a∊Z$ esiste un elemento $a'∊Z$, detto inverso di $a$ tale che $a°a'=a'°a=e$ per ogni $a∊Z $
quindi operazione a°b=a+b+1
$a+a'+1=e$ devo risolvere ed elimino $a e a'$ quindi $+1=e$ sposto $-e=-1$divido per $-e$ ed ottengo $e=1$ ma non dove essere -1?
ma sicuramente sbaglio anche questa volta!
Per ogni $a∊Z$ esiste un elemento $a'∊Z$, detto inverso di $a$ tale che $a°a'=a'°a=e$ per ogni $a∊Z $
quindi operazione a°b=a+b+1
$a+a'+1=e$ devo risolvere ed elimino $a e a'$ quindi $+1=e$ sposto $-e=-1$divido per $-e$ ed ottengo $e=1$ ma non dove essere -1?
ma sicuramente sbaglio anche questa volta!
ok per l'elemento neutro che è $e=-1$
Non puoi eliminare $a$ e $a'$ in questa maniera. Devi determinare chi è $a'$. Per individuarlo devi procedere così:
$a°a'=a+a'+1$, d'altra parte $a'$ è l'inverso di $a$ quindi $a°a'=e$ dove $e=-1$, mettendo insieme questi pezzi hai $a+a'+1=-1$ ossia $a'=-a-2$
"Roberto81":
già che ci sono posto anche l'ultima proprietà che deve rispettare l'operazione:
Per ogni $a∊Z$ esiste un elemento $a'∊Z$, detto inverso di $a$ tale che $a°a'=a'°a=e$ per ogni $a∊Z $
quindi operazione a°b=a+b+1
$a+a'+1=e$ devo risolvere ed elimino $a$ e $a'$
Non puoi eliminare $a$ e $a'$ in questa maniera. Devi determinare chi è $a'$. Per individuarlo devi procedere così:
$a°a'=a+a'+1$, d'altra parte $a'$ è l'inverso di $a$ quindi $a°a'=e$ dove $e=-1$, mettendo insieme questi pezzi hai $a+a'+1=-1$ ossia $a'=-a-2$
ok... ci sono avevo interpretato male la definizione.
quindi riprendendo la domanda dell'esercizio: Decidere se $Z$ rispetto all'operazione $a°b=a+b+1$ è un gruppo.
la risposta dato che le tre proprietà sono verificate è che rispetto all'operazione $Z$ è un gruppo!
E RIGRAZIO TUTTE LE PERSONE CHE MI HANNO AIUTATO IN QUESTO ESERCIZIO.... GRAZIE DAVVERO!
quindi riprendendo la domanda dell'esercizio: Decidere se $Z$ rispetto all'operazione $a°b=a+b+1$ è un gruppo.
la risposta dato che le tre proprietà sono verificate è che rispetto all'operazione $Z$ è un gruppo!
E RIGRAZIO TUTTE LE PERSONE CHE MI HANNO AIUTATO IN QUESTO ESERCIZIO.... GRAZIE DAVVERO!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo