Esercizio sui gruppi?
Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto per il seguente esercizio:
Si consideri il gruppo simmetrico S8,
1) Esistono elementi di periodo 10, 15, 16?
2)Sia H il sottoinsieme di S8 costituito dalle permutazioni che fissano gli elementi dell'insieme {6,7,8}. Quanti elementi contiene? E' un sottogruppo? E' normale? Se è normale si determini S8/H
3)Sia K il sottoinsieme di S8 costituito dalle permutazioni che fissano l'insieme {6,7,8}. H è un sottogruppo di K?E' normale? Se è normale si determini K/H
di questi tre punti sono riuscita a calcolare solo che H ha 5! elementi, per il resto non so come procedere...
mi potreste aiutare?
Si consideri il gruppo simmetrico S8,
1) Esistono elementi di periodo 10, 15, 16?
2)Sia H il sottoinsieme di S8 costituito dalle permutazioni che fissano gli elementi dell'insieme {6,7,8}. Quanti elementi contiene? E' un sottogruppo? E' normale? Se è normale si determini S8/H
3)Sia K il sottoinsieme di S8 costituito dalle permutazioni che fissano l'insieme {6,7,8}. H è un sottogruppo di K?E' normale? Se è normale si determini K/H
di questi tre punti sono riuscita a calcolare solo che H ha 5! elementi, per il resto non so come procedere...
mi potreste aiutare?
Risposte
1) No perché impossibile!
2) Ovvero è [tex]$H=S_5$[/tex]! Ti ricordi chi è l'unico sottogruppo normale degli [tex]$S_n$[/tex] per [tex]$n\geq5$[/tex]?
3) Ma non è così [tex]$H=K$[/tex]?!
2) Ovvero è [tex]$H=S_5$[/tex]! Ti ricordi chi è l'unico sottogruppo normale degli [tex]$S_n$[/tex] per [tex]$n\geq5$[/tex]?
3) Ma non è così [tex]$H=K$[/tex]?!
1) Le soluzioni mi dicono che esistono di periodo 10 e 15 e non di periodo 16 ma non riesco a capire perchè...
2) veramente non ricordo....
3)no, H non è uguale a K, perchè H fissa gli elementi dell'insieme, mentre K fissa l'insieme, quindi all'interno dell'insieme 6,7,8 possono permutare, infatti H ha 5! elementi entre K ne ha 5!x6...
2) veramente non ricordo....
3)no, H non è uguale a K, perchè H fissa gli elementi dell'insieme, mentre K fissa l'insieme, quindi all'interno dell'insieme 6,7,8 possono permutare, infatti H ha 5! elementi entre K ne ha 5!x6...
Ti spiego dapprima il mio errore: un k-ciclo ha periodo k, da ciò non esistendo 10-cicli e 15-cicli in [tex]$S_8$[/tex] ho scritto la scemenza -_-
1) Considerando il prodotto di un 2-ciclo e di un 5-ciclo i cui supporti siano disgiunti ottieni un elemento di periodo 10, basta fare un pò i conti! Usando un 3-ciclo ed un 5-ciclo di medesime caratterische ottieni un elemento di periodo 15. Da ciò capisci che non riesci a costruire un elemento di periodo 16 con la stessa tecnica.
2) L'unico sottogruppo normale non banale di [tex]$S_n$[/tex] per [tex]$n\geq5$[/tex] è il sottogruppo alterno i grado [tex]$n$[/tex].
3) Dovrebbe essere [tex]$K=S_5\times S_3$[/tex] a meno di errori! Sai proseguire poi; a meno del mio errore?
1) Considerando il prodotto di un 2-ciclo e di un 5-ciclo i cui supporti siano disgiunti ottieni un elemento di periodo 10, basta fare un pò i conti! Usando un 3-ciclo ed un 5-ciclo di medesime caratterische ottieni un elemento di periodo 15. Da ciò capisci che non riesci a costruire un elemento di periodo 16 con la stessa tecnica.
2) L'unico sottogruppo normale non banale di [tex]$S_n$[/tex] per [tex]$n\geq5$[/tex] è il sottogruppo alterno i grado [tex]$n$[/tex].
3) Dovrebbe essere [tex]$K=S_5\times S_3$[/tex] a meno di errori! Sai proseguire poi; a meno del mio errore?
1)scusa, non mi è chiarissimo...quando dici che i supporti sono disgiunti cosa intendi?
2)Già, è vero!
3)cerco di spiegarti meglio.... H comprende tutte le permutazioni che fissano gli elementi dell'insieme 6,7,8, quindi comprende tutte le permutazioni che non riguardano gli elementi 6,7,8 perchè se si permuta uno di questi elementi allora non risulterebbero più "fissati"...ed infatti ha 5! elementi...
K invece comprende tutte le permutazioni che fissano l'insieme {6,7,8}, quindi oltre a poter permutare liberamente gli elementi da 1 a 5 posso permutare tra di loro gli elementi dell'insieme....quindi è composto da 5!x3! elementi...
detto in modo più stringato H è dato da tutte le permutazioni che agiscono su {1,2,3,4,5} e basta, quindi è una copia di S5 dentro S8....invece K è dato da tutte le permutazioni che agiscono separatamente su {1,2,3,4,5} e {6,7,8}, quindi è una copia di S5xS3 dentro S8...spero di essere stata un pò più chiara...
2)Già, è vero!
3)cerco di spiegarti meglio.... H comprende tutte le permutazioni che fissano gli elementi dell'insieme 6,7,8, quindi comprende tutte le permutazioni che non riguardano gli elementi 6,7,8 perchè se si permuta uno di questi elementi allora non risulterebbero più "fissati"...ed infatti ha 5! elementi...
K invece comprende tutte le permutazioni che fissano l'insieme {6,7,8}, quindi oltre a poter permutare liberamente gli elementi da 1 a 5 posso permutare tra di loro gli elementi dell'insieme....quindi è composto da 5!x3! elementi...
detto in modo più stringato H è dato da tutte le permutazioni che agiscono su {1,2,3,4,5} e basta, quindi è una copia di S5 dentro S8....invece K è dato da tutte le permutazioni che agiscono separatamente su {1,2,3,4,5} e {6,7,8}, quindi è una copia di S5xS3 dentro S8...spero di essere stata un pò più chiara...
Sui punti 2) & 3) ci troviamo come puoi leggere; ho modificato più volte visto che poi ho capito bene il punto 3)!
Sul punto 1) mi dilungherò ma non a quest'ora!
Sul punto 1) mi dilungherò ma non a quest'ora!
sul punto 3 solo non so bene come fare per dimostrare che è normale...
ok per il punto 1, quando puoi poi mi spieghi!
ok per il punto 1, quando puoi poi mi spieghi!
1) E.g.: [tex]$(1\,2)(3\,4\,5\,6\,7)$[/tex] è una permutazione prodotto di un 2-ciclo e di un 5-ciclo, come vedi i loro insiemi degli elementi spostati (supporti) sono disgiunti per cui permutano. L'idea di considerare tale permutazione nasce dall'essere [tex]$(1\,2)(3\,4\,5\,6\,7)\in\big<(1\,2);(3\,4\,5\,6\,7)\big>$[/tex], in quanto; utilizzando il teorema del prodotto di sottogruppi permutabili, si ha che [tex]$\big<(1\,2);(3\,4\,5\,6\,7)\big>$[/tex] è (a meno d'isomofismi) il gruppo ciclico di ordine 10.
Mima tutto ciò per determinare una permutazione di periodo 15!
3) Volendo essere più espliciti: posti [tex]$X=\{1;2;3;4;5\}$[/tex] ed [tex]$Y=\{6;7;8\}$[/tex] sono [tex]$S_X\simeq S_5;\,S_Y\simeq S_3$[/tex] e [tex]$S_X\cap S_Y=\{\iota_8\}$[/tex], ed essendo [tex]$K=\big$[/tex] si ha per costruzione che [tex]$K$[/tex] è il prodotto diretto interno di [tex]$S_X$[/tex] ed [tex]$S_Y$[/tex].
Essendo ancora [tex]$H=S_X$[/tex] s'evince che [tex]$H\lhd K$[/tex] e per il II teorema d'isomorfismo tra gruppi si ha che [tex]$K/_H\simeq S_Y$[/tex].
Mima tutto ciò per determinare una permutazione di periodo 15!
3) Volendo essere più espliciti: posti [tex]$X=\{1;2;3;4;5\}$[/tex] ed [tex]$Y=\{6;7;8\}$[/tex] sono [tex]$S_X\simeq S_5;\,S_Y\simeq S_3$[/tex] e [tex]$S_X\cap S_Y=\{\iota_8\}$[/tex], ed essendo [tex]$K=\big
Essendo ancora [tex]$H=S_X$[/tex] s'evince che [tex]$H\lhd K$[/tex] e per il II teorema d'isomorfismo tra gruppi si ha che [tex]$K/_H\simeq S_Y$[/tex].
ok, ora mi è tutto chiaro! Grazie mille per la disponibilità!
Prego, di nulla!
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