Esercizio sui Gruppi

[Sweet_Fra]

Ciao a tutti! Spero che qualcuno possa aiutarmi con questo "esercizietto" che trovo un po' difficile; il testo è questo:

Indicato con G il gruppo additivo Q (risp. Z, Z65, Z53), sia f: G--->G l'applicazione definita dalla formula: $ f(x) = 6x + 5 $ , $ AA $ x $ in $ G

[Z65 e Z53...il 65 e il 53 sono a pedice..]

Grazie a chiunque possa aiutarmi!!!!

hihiih..scusa hai ragione..

a) Per ogni scelta di G sopra indicata rispondere alle seguenti domande:
- f è iniettiva? suriettiva? biettiva?
- f è un omomorfismo di gruppi?
b) se è possibile definire un'applicazione h: G--->G, diversa da f, tale che: $ {h(x) | x $ $in$ $G} = {f(x) | x $ $ in $ $ G }$

[blackbishop13]

ciao e benvenuta!

scusa ma non hai scritto nessun esercizio..
si definisce un'applicazione, e poi??? fine dell'esercizio?

[Sweet_Fra]

ho corretto..grazie..una svista..

[klarence1]

Scusa ma G che gruppo è? non ho mica capito...

Edit: forse ci sono.

[klarence1]

"Sweet_Fra":Ciao a tutti! Spero che qualcuno possa aiutarmi con questo "esercizietto" che trovo un po' difficile; il testo è questo:

Indicato con G il gruppo additivo Q (risp. Z, Z65, Z53), sia f: G--->G l'applicazione definita dalla formula: $ f(x) = 6x + 5 $ , $ AA $ x $ in $ G
a) Per ogni scelta di G sopra indicata rispondere alle seguenti domande:
- f è iniettiva? suriettiva? biettiva?
- f è un omomorfismo di gruppi?
b) se è possibile definire un'applicazione h: G--->G, diversa da f, tale che: $ {h(x) | x $ $in$ $G} = {f(x) | x $ $ in $ $ G }$

Per la domanda a)
Innanzitutto abbiamo una funzione che va da due insiemi uguali... quindi in particolare avranno la stessa cardinalità... allora vale che $f iniettiva <=> f suriettiva <=> f biettiva$.
Come dimostriamo che f è iniettiva? Se $f(x)=f(y)->x=y$.
Per comodità scriviamo il generico elemento $x$ di $G$ con le parentesi quadre (questi elementi in particolare saranno classi), e con $x$ soltanto indichiamo un rappresentante di tale classe.
$[6x+5]=[6y+5] <=> [6x]=[6y]<=>6x-=6y (mod65)<=>x-=y(mod65) $ cioè se $[x]=[y]$. Pertando f è iniettiva e per i motivi che abbiamo detto prima è anche suriettiva e quindi biettiva. Fai lo stesso ragionamento se $G$ è diverso.
Ora se f è un omomorfismo di gruppi rispondi tu... puoi farlo in almeno 2 modi, ricorda un pò le proprietà principali di un omomorfismo di gruppi....

Per la domanda b) ... al posto dell'intero 6 puoi prendere un elemento $a$ tale che per ogni $[x] in G$ vale che $[6x+5]=[ax+5]$....

[Sweet_Fra]

grazie mille..domani ci ragiono su!!! grazie ancora...!