Esercizio sui gruppi
Buonasera a tutti!
Ho un dubbio riguardo la risoluzione del seguente esercizio:
"Sia $G$ un gruppo e $A$ un suo sottogruppo. Verificare che per ogni $ainG$ il sottoinsieme: $gAg^(-1)={gag^{-1}, AAainA}$ è un sottogruppo di $G$ e che $O(A)=O(gAg^(-1))$."
Ho provato che $gAg^(-1)$ è un sottogruppo di $G$ sfruttando la proprietà caratteristica dei sottogruppi. Siano $gag^(-1),gbg^(-1) in gAg^(-1)$; risulta: $gag^(-1)*(gbg^(-1))^(-1)=gag^(-1)*gbg^(-1)=gaebg^(-1)=gabg^(-1)ingAg^(-1)$ ($e$ è l'elemento neutro) e chiaramente se $a,binG$ e $G$ è un gruppo, segue che $abinG$.
Per provare che $O(A)=O(gAg^(-1))$, ho ragionato con i teoremi di Cantor; provare la tesi equivale a provare l'equicardinalità di due insiemi e quindi basta trovare una applicazione biiettiva tra di essi. Assegno $phi:a->gag^(-1)$ e dimostro che $phi$ è biiettiva:
1) Iniettività: sia $phi(a)=phi(b)$ e quindi: $gag^(-1)=gbg^(-1)$ da cui, per la legge di cancellazione: $a=b$;
2) Suriettività: preso $gag^(-1)ingAg^(-1)$, risulta: $gag^(-1)=phi(a)$.
L'applicazione essendo iniettiva e suriettiva, è biiettiva; in definitiva $O(A)=O(gAg^(-1))$.
E' corretto il mio procedimento?
Avete delle altre idee per dimostrare che $O(A)=O(gAg^(-1))$?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Ho un dubbio riguardo la risoluzione del seguente esercizio:
"Sia $G$ un gruppo e $A$ un suo sottogruppo. Verificare che per ogni $ainG$ il sottoinsieme: $gAg^(-1)={gag^{-1}, AAainA}$ è un sottogruppo di $G$ e che $O(A)=O(gAg^(-1))$."
Ho provato che $gAg^(-1)$ è un sottogruppo di $G$ sfruttando la proprietà caratteristica dei sottogruppi. Siano $gag^(-1),gbg^(-1) in gAg^(-1)$; risulta: $gag^(-1)*(gbg^(-1))^(-1)=gag^(-1)*gbg^(-1)=gaebg^(-1)=gabg^(-1)ingAg^(-1)$ ($e$ è l'elemento neutro) e chiaramente se $a,binG$ e $G$ è un gruppo, segue che $abinG$.
Per provare che $O(A)=O(gAg^(-1))$, ho ragionato con i teoremi di Cantor; provare la tesi equivale a provare l'equicardinalità di due insiemi e quindi basta trovare una applicazione biiettiva tra di essi. Assegno $phi:a->gag^(-1)$ e dimostro che $phi$ è biiettiva:
1) Iniettività: sia $phi(a)=phi(b)$ e quindi: $gag^(-1)=gbg^(-1)$ da cui, per la legge di cancellazione: $a=b$;
2) Suriettività: preso $gag^(-1)ingAg^(-1)$, risulta: $gag^(-1)=phi(a)$.
L'applicazione essendo iniettiva e suriettiva, è biiettiva; in definitiva $O(A)=O(gAg^(-1))$.
E' corretto il mio procedimento?
Avete delle altre idee per dimostrare che $O(A)=O(gAg^(-1))$?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Risposte
"Andrea90":
Siano $gag^(-1),gbg^(-1) in gAg^(-1)$; risulta: $gag^(-1)*(gbg^(-1))^(-1)=gag^(-1)*gbg^(-1)=gaebg^(-1)=gabg^(-1)ingAg^(-1)$ ($e$ è l'elemento neutro) e chiaramente se $a,binG$ e $G$ è un gruppo, segue che $abinG$.
Non è giusto, infatti $(gbg^(-1))^(-1)=gb^(-1)g^(-1)$.
Magari potresti scrivere: $gag^(-1)*(gbg^(-1))^(-1)=gag^(-1)*gb^(-1)g^(-1)=gaeb^(-1)g^(-1)=gab^(-1)g^(-1)ingAg^(-1)$, poichè $a,binA$ e $A$ è un sottogruppo di $G$, segue che $ab^(-1)inA$.
"deserto":
Non è giusto, infatti $(gbg^(-1))^(-1)=gb^(-1)g^(-1)$.
Magari potresti scrivere: $gag^(-1)*(gbg^(-1))^(-1)=gag^(-1)*gb^(-1)g^(-1)=gaeb^(-1)g^(-1)=gab^(-1)g^(-1)ingAg^(-1)$, poichè $a,binA$ e $A$ è un sottogruppo di $G$, segue che $ab^(-1)inA$.
Giusto! Ok, tutto chiaro. Invece riguardo l'applicazione $phi$, il ragionamento è corretto?
Ok per l'iniettività
Io preferirei scrivere: sia $b in gAg^(-1)$ allora $EE a in A$ tale che $b=gag^(-1)=phi(a)$.
"Andrea90":
Suriettività: preso $gag^(-1)ingAg^(-1)$, risulta: $gag^(-1)=phi(a)$.
Io preferirei scrivere: sia $b in gAg^(-1)$ allora $EE a in A$ tale che $b=gag^(-1)=phi(a)$.
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