Esercizio sui gruppi
Hp trovato un esercizo sul mio testo che chiede di dimostrare che un sottogruppo sia normale.
Io ho fatto con il solito mio metodo, ovvero verificare che ogni
$ gkg^{-1} in K $ (dove K sottogruppo di G)
Il testo procede in un modo completamente diverso che non ho ben capito, ovvero per mezzo di un morfismo.
Il dubbio che mi viene è questo: esiste forse un teorema che dice che dato un morfismo da G in D il kernel del morfismo è normale in G?
[mod="Steven"]Sposto in "Algebra". Prima era in "Geometria e algebra lineare".[/mod]
Io ho fatto con il solito mio metodo, ovvero verificare che ogni
$ gkg^{-1} in K $ (dove K sottogruppo di G)
Il testo procede in un modo completamente diverso che non ho ben capito, ovvero per mezzo di un morfismo.
Il dubbio che mi viene è questo: esiste forse un teorema che dice che dato un morfismo da G in D il kernel del morfismo è normale in G?
[mod="Steven"]Sposto in "Algebra". Prima era in "Geometria e algebra lineare".[/mod]
Risposte
"Hop Frog":
Il dubbio che mi viene è questo: esiste forse un teorema che dice che dato un morfismo da G in D il kernel del morfismo è normale in G?
Certamente. Ti serve anche per dimostrare il primo teorema di isomorfismo.
Non è difficile da verificare che dato $f:G-> G'$ un omomorfismo (suriettivo) di gruppi, $"ker" f$ è un sottogruppo normale di $G$: puoi dimostrarlo facendo vedere che è chiuso rispetto al coniugio, come peraltro sei già abituato a fare.
Ok io penso di aver individuato il problema.
Il punto è questo:
quando devo dimostrare che G è isomorfo a K io mi invento, nel vero senso della parola, una funzione che va da G a K, e poi faccio vedere che f(x*y)=f(x)*f(y), che mi pare un metodo del tutto lecito (o sbaglio?).
Ma il testo invece fa sempre nello stesso modo, che a parer mi è molto più complicato e inutile.
Lui trova un morfismo diverso, pur di poter tirar fuori il kernel di questo isomorfismo e poter usare il primo teorema di isomorfismo, (supponendo che G=D/Ker(f), dove D è il dominio del morfismo creato da lui).
Ma il mio metodo è comunque giusto no??
Il punto è questo:
quando devo dimostrare che G è isomorfo a K io mi invento, nel vero senso della parola, una funzione che va da G a K, e poi faccio vedere che f(x*y)=f(x)*f(y), che mi pare un metodo del tutto lecito (o sbaglio?).
Ma il testo invece fa sempre nello stesso modo, che a parer mi è molto più complicato e inutile.
Lui trova un morfismo diverso, pur di poter tirar fuori il kernel di questo isomorfismo e poter usare il primo teorema di isomorfismo, (supponendo che G=D/Ker(f), dove D è il dominio del morfismo creato da lui).
Ma il mio metodo è comunque giusto no??
Non capisco cosa intendi dire per morfismo diverso... Il morfismo deve avere dominio $G$. Quindi se devi dimostrare che $H$ è normale in $G$ devi trovare un omomorfismo da $G$ a $G//H$ o ad uno gruppo ad esso isomorfo. Spesso ad un gruppo ad esso isomorfo.
Per esempio $A_n$ è normale perché è il kernel della funzione segno da $S_n$ a $ZZ_2$. Non ha però importanza che omomorfismo usi ma solamente che $H$ sia il kernel.
Per esempio $A_n$ è normale perché è il kernel della funzione segno da $S_n$ a $ZZ_2$. Non ha però importanza che omomorfismo usi ma solamente che $H$ sia il kernel.
Ma scusa un attimo, se io invece faccio in questo modo, senza utilizzare il primo principio di isomorfismo:
Devo dimostrare che G è isomorfo a H.
Bene, trovo una funzione da G ad H, faccio federe che f(g*h)=f(g)*f(h), che è suriettiva e iniettiva. fine.
non va bene? non è forse questa la definizione di isomorfismo?
quindi non potrebbe bastare?
Devo dimostrare che G è isomorfo a H.
Bene, trovo una funzione da G ad H, faccio federe che f(g*h)=f(g)*f(h), che è suriettiva e iniettiva. fine.
non va bene? non è forse questa la definizione di isomorfismo?
quindi non potrebbe bastare?
"Hop Frog":
Ma scusa un attimo, se io invece faccio in questo modo, senza utilizzare il primo principio di isomorfismo:
Devo dimostrare che G è isomorfo a H.
Bene, trovo una funzione da G ad H, faccio federe che f(g*h)=f(g)*f(h), che è suriettiva e iniettiva. fine.
non va bene? non è forse questa la definizione di isomorfismo?
quindi non potrebbe bastare?
Beh, no... Quello non dimostra la normalità di H ma solo che G e H sono isomorfi... Non serve usare il primo principio degli isomorfismi di gruppi ma solo il fatto che il kernel di un omomorfismo è un sottogruppo normale. Penso che il problema qui potrebbe essere che non hai capito cos'é il kernel... Il kernel di un sottogruppo è il sottogruppo degli elementi che vengono mappati all'identità...
ok. adesso allora ho messo a posto le cose. effettivamente avevo un pò di confusione in testa.
un ultima cosa:
questa implicazione è vera in entrambe le parti ("=>" e "<=")?:
Siano G e G' gruppi.
Sia f morfismo tra G e G'.
IMPLICAZIONE: f isomorfismo <=> Ker(f) normale in G
o vale solo l implicazione "=>"?
un ultima cosa:
questa implicazione è vera in entrambe le parti ("=>" e "<=")?:
Siano G e G' gruppi.
Sia f morfismo tra G e G'.
IMPLICAZIONE: f isomorfismo <=> Ker(f) normale in G
o vale solo l implicazione "=>"?
"Hop Frog":
ok. adesso allora ho messo a posto le cose. effettivamente avevo un pò di confusione in testa.
un ultima cosa:
questa implicazione è vera in entrambe le parti ("=>" e "<=")?:
Siano G e G' gruppi.
Sia f morfismo tra G e G'.
IMPLICAZIONE: f isomorfismo <=> Ker(f) normale in G
o vale solo l implicazione "=>"?
Leva la parola isomorfismo dalla testa...
$ker(f)$ è sempre normale per ogni omomorfismo di $G$ in qualche altro gruppo. Se l'omomorfismo è iniettivo $ker(f)=\{1\}$ quindi se è un isomorfismo il kernel è banale.
La doppia implicazione che devi sapere è:
$H$ è normale <=> $H$ è il kernel di qualche omomorfismo.
Penso sia il teorema degli isomorfismi che ti confonde. Ma esso dice che, se H è normale, $G//H$ è isomorfo all'immagine di ogni omomorfismo che ha $H$ come kernel. Ma quello che ha $H$ come kernel non è in generale un isomorfismo.
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