Esercizio sui gruppi
Buonasera a tutti,ho dei dubbi su come ho svolto questo esercizio:
sia ($ZZ_5$,+), $ZZ_5={\bar 0,\bar 1,\bar 2,\bar 3,\bar 4,}$ il gruppoadditivo delle classi resto degli interi modulo 5
sia ($G_4, *$)= $ZZ_5$\{$\bar 0$} dove per ogni $\bar a$,$\bar b$ è ben definita nel modo usuale l'operazione binaria $\bar a *\bar b = \bar a\barb$ con ab moltipicazione in $zz$
($G_4$, *) è un gruppo abeliano?
per provarlo so (dalla definizione di gruppo) che:
- la moltiplicazione dev'essere associativa e commutativa
-deve esistere l'elemento neutro
-deve esistere l'elemento inverso
Ecco come l'ho svolto io:
proprietà commutativa: $\bar a * \bar b = \bar b * \bar a $
Ma non riesco a dimostrare e verificare se e un gruppo abeliano
Potete darmi una dritta?Grazie a tutti in anticipo.
[mod="Martino"]Spostato nella sezione giusta.[/mod]
sia ($ZZ_5$,+), $ZZ_5={\bar 0,\bar 1,\bar 2,\bar 3,\bar 4,}$ il gruppoadditivo delle classi resto degli interi modulo 5
sia ($G_4, *$)= $ZZ_5$\{$\bar 0$} dove per ogni $\bar a$,$\bar b$ è ben definita nel modo usuale l'operazione binaria $\bar a *\bar b = \bar a\barb$ con ab moltipicazione in $zz$
($G_4$, *) è un gruppo abeliano?
per provarlo so (dalla definizione di gruppo) che:
- la moltiplicazione dev'essere associativa e commutativa
-deve esistere l'elemento neutro
-deve esistere l'elemento inverso
Ecco come l'ho svolto io:
proprietà commutativa: $\bar a * \bar b = \bar b * \bar a $
Ma non riesco a dimostrare e verificare se e un gruppo abeliano
Potete darmi una dritta?Grazie a tutti in anticipo.
[mod="Martino"]Spostato nella sezione giusta.[/mod]
Risposte
Lo scrivo un po' velocemente senza usare i moduli...
Abeliano:
$(m + 5k)*(n + 5s) = mn + 5ns + 5mk + 25ks = mn + 5t = nm + 5t$ (ma forse questo lo avevi già mostrato). La proprietà associativa la prende da $ZZ$ anche quella, basta fare i calcoli.
El. neutro: $1$
Inverso... Beh $4*4 = 16 = 3*5+1$, $2*3 = 6 = 1+5$
Abeliano:
$(m + 5k)*(n + 5s) = mn + 5ns + 5mk + 25ks = mn + 5t = nm + 5t$ (ma forse questo lo avevi già mostrato). La proprietà associativa la prende da $ZZ$ anche quella, basta fare i calcoli.
El. neutro: $1$
Inverso... Beh $4*4 = 16 = 3*5+1$, $2*3 = 6 = 1+5$