Esercizio sui gruppi:

[NightKnight1]

Dare un esempio di un gruppo $G$, un sottogruppo $H$ di $G$ e un elemento $a \in G$ tale che $aHa^(-1) \ := \ { \ aha^(-1) \ | \ h in H \ } \ subset H$ e l'inclusione è stretta.

Penso che sia necessario che $G$ e $H$ siano insiemi infiniti, $H$ non normale in $G$, e quindi $G$ non abeliano.

[dissonance]

Questo esercizio mi ricorda una dispensa di J.Milne su cui studiai $n$ anni fa. vediamo se la trovo...
[dopo qualche minuto] e infatti. A questo punto ho trovato pure la soluzione, ma dico onestamente che non è farina del mio sacco, se però ti serve la posso postare in spoiler.

[NightKnight1]

Non so cosa significa "in spoiler". comunque, dimmi dimmi che mi interessa!

[pat871]

Beh, io inizierei dai più semplici gruppi non abeliani, $S_3, S_4$,... e poi tenterei di trovare un sottogruppo non normale e un elemento per cui vale quella inclusione.
Però potrebbe richiedere molto molto tempo...

[dissonance]

Tratto dalla dispensa di J. Milne "Group Theory", 29 agosto 2003:

EXAMPLE 1.21. Let $G = GL2 (QQ)$, and let $H={((1, n), (0,1))\ |\ n\inZZ}$. Then $H$ is a subgroup of $G$: in fact it is isomorphic to $ZZ$. Let $g=((5, 0), (0,1))$. Then
$g((1, n), (0,1))g^(-1)=((5, 5n), (0,1))((5^(-1), 0), (0, 1))=((1, 5n), (0, 1))$.
Hence $gHg^(-1)\subH$, but $gHg^(-1)\neH$.

la dispensa è qui, questa è la nuova versione però. (A pagina 15 c'è questo esempio. Nella versione 2008 la numerazione è cambiata, adesso è l'esempio 1.32).

[NightKnight1]

Grazie, Dissonance.
Ho dato un'occhiata alle dispense che citi: ci si possono trovare molti argomenti di algebra, anche se forse troppo avanzati per uno studente del secondo anno come me. Ad ogni modo, grazie!