Esercizio sui gruppi

[Pasquale 90]

Buonasera,

Sto svolgendo il seguente esercizio:
Sia l'insieme $G$ delle matrici su $ZZ_n$ della forma

\(\displaystyle \begin{vmatrix} \pm 1 & m \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \).

Si richiede di verificare che $G(cdot)$ dove "$cdot$ prodotto usuale tra matrici" è un gruppo, inoltre verificare che risulta abeliano se $n=2$ e non abeliano se $n>2$.

Per quanto la verifica di essere $G$ un gruppo l'ho fatta.
Invece, per la seconda richiesta devo valutare le seguenti matrici

\(\displaystyle X=\begin{vmatrix} 1 & [0]_2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \), \(\displaystyle Y=\begin{vmatrix} 1 & [1]_2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \),\(\displaystyle Z=\begin{vmatrix} -1 & [0]_2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \), \(\displaystyle T=\begin{vmatrix} -1 & [1]_2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}\)

Facendo i conti in effetti $G$ è abeliano. Sorge un problema, il libro svolge l'esercizio valutando solo le matrici $X,Y$..perché ?

[hydro1]

Perchè $-1=1$ in \(\mathbb Z/2\mathbb Z\).

[Pasquale 90]

si