Esercizio sui gruppi
Buonasera.
Sto svolgendo il seguente esercizio:
Per quanto riguarda il primo punto è tutto chiaro. Per il punto due e tre sto avendo un po' di problemi... sapreste aiutarmi per favore? Grazie in anticipo
Sto svolgendo il seguente esercizio:
Si consideri l’insieme \(\displaystyle A = \) $QQ$\(\displaystyle × \)$QQ$ e sia \(\displaystyle ∗ : A × A → A \) l’operazione definita da
\(\displaystyle (a,b) ∗ (c,d) = (a 5 + c,2bd) \) \(\displaystyle ∀ (a,b),(c,d) ∈ A. \)
(1) Stabilire se l’operazione è commutativa ed associativa.
(2) Determinare, se esiste, l’elemento neutro e stabilire se (A,∗) `e un gruppo abeliano.
(3) Determinare, se esiste, l’inverso di (3, −3).
Per quanto riguarda il primo punto è tutto chiaro. Per il punto due e tre sto avendo un po' di problemi... sapreste aiutarmi per favore? Grazie in anticipo
Risposte
Suppongo che $a5$ significhi $5a$.
Il gruppo non è abeliano, perché in generale
$(a,b) ∗ (c,d) = (a 5 + c,2bd)$ e $ (c,d) *(a,b)= (5c+a, 2bd) $ la cui uguaglianza $(a 5 + c,2bd) = ( 5c+a, 2bd)$ dipende dai valori di $a$ e $c$ e non è verificata $∀ (a,b),(c,d) ∈ A$
C'è una parvenza di elemento neutro, ma funziona solo da sinistra, quindi non può essere definito elemento neutro:
$(0, 1/2)*(a,b)=(5*0+a, 2*1/2*b)=(a,b)$, da destra si ottiene
$(a,b)*(0, 1/2)=(5*a+0, 2*1/2*b)=(5a,b) !=(a,b)$ tranne il caso in cui $a=0$, ma non vale in generale.
Non si può parlare di inverso se nell'operazione non è definito un elemento neutro.
Il gruppo non è abeliano, perché in generale
$(a,b) ∗ (c,d) = (a 5 + c,2bd)$ e $ (c,d) *(a,b)= (5c+a, 2bd) $ la cui uguaglianza $(a 5 + c,2bd) = ( 5c+a, 2bd)$ dipende dai valori di $a$ e $c$ e non è verificata $∀ (a,b),(c,d) ∈ A$
C'è una parvenza di elemento neutro, ma funziona solo da sinistra, quindi non può essere definito elemento neutro:
$(0, 1/2)*(a,b)=(5*0+a, 2*1/2*b)=(a,b)$, da destra si ottiene
$(a,b)*(0, 1/2)=(5*a+0, 2*1/2*b)=(5a,b) !=(a,b)$ tranne il caso in cui $a=0$, ma non vale in generale.
Non si può parlare di inverso se nell'operazione non è definito un elemento neutro.
Scusami tanto, non mi ero accorto di aver scritto male, lì è −5...
riscrivo:
Scusa ancora e grazie per avermi risposto!
riscrivo:
Si consideri l’insieme \(\displaystyle A= Q×Q \)e sia \(\displaystyle ∗:A×A→A \) l’operazione definita da
\(\displaystyle (a,b)∗(c,d)=(a − 5+c,2bd) \) \(\displaystyle ∀(a,b),(c,d)∈A. \)
(1) Stabilire se l’operazione è commutativa ed associativa.
(2) Determinare, se esiste, l’elemento neutro e stabilire se \(\displaystyle (A,∗) \) è un gruppo abeliano.
(3) Determinare, se esiste, l’inverso di \(\displaystyle (3, −3) \).
Scusa ancora e grazie per avermi risposto!
Adesso è commutativa, per la commutatività dell'addizione $a-5+c=c-5+a$ e della moltiplicazione $2bd=2db$, inoltre c'è anche l'elemento neutro $(5, 1/2)$, infatti
$(a,b)*(5, 1/2)=(a-5+5, 2b*1/2)=(a,b)$ e $(5, 1/2)*(a,b)=(5-5+a, 2*1/2*b)=(a,b)$
Avendo l'elemento neutro è possibile trovare l'inverso di $(3, -3)$, bisogna trovare la coppia $(x, y)$ che operata con $(3, -3)$ dia l'elemento neutro, quindi
$(3, -3)*(x, y)=(5, 1/2)$
$(3, -3)*(x, y)= (3-5+x, 2*(-3)*y)=(x-2, -6y)$ quindi $(x-2, -6y)=(5, 1/2)$ da cui $x=7$ e $y= -1/12$
$(a,b)*(5, 1/2)=(a-5+5, 2b*1/2)=(a,b)$ e $(5, 1/2)*(a,b)=(5-5+a, 2*1/2*b)=(a,b)$
Avendo l'elemento neutro è possibile trovare l'inverso di $(3, -3)$, bisogna trovare la coppia $(x, y)$ che operata con $(3, -3)$ dia l'elemento neutro, quindi
$(3, -3)*(x, y)=(5, 1/2)$
$(3, -3)*(x, y)= (3-5+x, 2*(-3)*y)=(x-2, -6y)$ quindi $(x-2, -6y)=(5, 1/2)$ da cui $x=7$ e $y= -1/12$
Ti ringrazio, sei stata gentilissima
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