Esercizio sui gruppi
Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio:
Mi viene chiesto di dimostrare che un gruppo G di ordine 1755= 3^3 * 5 * 13 non è semplice( ovvero possiede un sottogruppo normale diverso da { 1g} e G ) Come posso fare?
Mi viene chiesto di dimostrare che un gruppo G di ordine 1755= 3^3 * 5 * 13 non è semplice( ovvero possiede un sottogruppo normale diverso da { 1g} e G ) Come posso fare?
Risposte
Che ne dici di contare i $13$ sylow e i $5$ sylow? Quanti possono essere?
Quindi vediamo se ho capito:
Considero il 13 Syl. N(13)={ 1, 135} e in 5 Syl. N(5)= { 1, 135}.
Se N(13)=1 esiste un unico sottogruppo normale di ordine 13.
Se N(13)=135 ho 135 gruppi con ciascun 12 elementi di ordine 13.
Allora: 1755 - (135 * 12)= 135 , quindi mancano 135 elementi diversi dal unita .
Vedo N(5)= 1. Cosi esiste solo un sottogruppo normale di ordine 5
Se N(5)= 135. Allora vi sono 135 gruppi ciascuno con 4 elementi di ordine 5.
135 * 4= 1890 e non va bene perché ci mancavano solo 135 elementi, quindi l'unica è N(5)=1 cosi abbiamo un sottogruppo normale non banale. Giusto?
Considero il 13 Syl. N(13)={ 1, 135} e in 5 Syl. N(5)= { 1, 135}.
Se N(13)=1 esiste un unico sottogruppo normale di ordine 13.
Se N(13)=135 ho 135 gruppi con ciascun 12 elementi di ordine 13.
Allora: 1755 - (135 * 12)= 135 , quindi mancano 135 elementi diversi dal unita .
Vedo N(5)= 1. Cosi esiste solo un sottogruppo normale di ordine 5
Se N(5)= 135. Allora vi sono 135 gruppi ciascuno con 4 elementi di ordine 5.
135 * 4= 1890 e non va bene perché ci mancavano solo 135 elementi, quindi l'unica è N(5)=1 cosi abbiamo un sottogruppo normale non banale. Giusto?
La strategia è giusta ma i conti sono sbagliato: 135 non è congruo a $1 mod 13$. I 13 Sylow possono essere solo $1$ o $27$, anche il numero dei 5 Sylow è sbagliato! Aggiusta tutto e vediamo se torna 
Forse ho capito: I 13 Syl sono { 1, 27}.
Q
Q
Quello N(13) = 1 è un sottogruppo normale unico di ordine 13.
N(13)= 27 abbiamo 1755 -(27 * 12) = 1431 che sono quelli che ancora mancano.
I 5 Syl sono da {1, 351}. in N(5) =351 abbiamo allora 1431- (351 * 4)= 27.
quindi dobbiamo andare a vedere anche i 3 Syl che sono composti da { 1, 13} .
E in N(3) = 13 abbiamo 13 * 26= 338 elementi , e ne abbiamo di più. Quindi è per forza N(3)= 1 unico sottogruppo normale di ordine 27. Giusto?
N(13)= 27 abbiamo 1755 -(27 * 12) = 1431 che sono quelli che ancora mancano.
I 5 Syl sono da {1, 351}. in N(5) =351 abbiamo allora 1431- (351 * 4)= 27.
quindi dobbiamo andare a vedere anche i 3 Syl che sono composti da { 1, 13} .
E in N(3) = 13 abbiamo 13 * 26= 338 elementi , e ne abbiamo di più. Quindi è per forza N(3)= 1 unico sottogruppo normale di ordine 27. Giusto?
La conclusione è giusta ma la fine del ragionamento è sbagliata. Non puoi dire, a priori, che se hai 13 3-Sylow allora hai 13*26 elementi distinti. Perché non puoi? Perché nel caso dei 5-sylow e dei 13-sylow puoi?
Eh quest'ultimo passaggio mi sfugge un po', forse non posso perché son multipli ? 
"Jhonny777":
Eh quest'ultimo passaggio mi sfugge un po', forse non posso perché son multipli ?
Beh prima mettiamo in chiaro perché posso contare gli elementi di ordine $13$ e $5$ in modo facile: concentriamoci sugli elementi di ordine $5$, un $5-Sylow$ nel nostro caso ha proprio cardinalità $5$, quindi l'intersezione fra due 5-Sylow $P_1, P_2$ o è l'identità oppure $P_1 = P_2$(facile esercizio), sicché ogni 5-Sylow ha elementi di ordine $5$ distinti. Questo ragionamento fallisce nel caso dei $3-$Sylow perché questi hanno cardinalità $27$ e quindi l'intersezione di due fra essi può avere cardinalità $1, 3, 9, 27$. Capisci che non puoi contare gli elementi dei $3-$Sylow con la tecnica di sopra perché, non sapendo le cardinalità delle intersezioni, potresti contare più di una volta qualche elemento.
Torniamo all'esercizio, supponendo che ci siano più $5$-Sylow e $13$-Sylow arrivi a dire che restano ben $27$ elementi nel gruppo. Magari se riguardi l'enunciato dei teoremi di sylow e noti che $27$ è proprio la cardinalità di un $3$-Sylow del gruppo riesci a concludere.
Quindi praticamente concludo solo dicendo che il 3-Syl è un unico sottogruppo normale di ordine 27 ?
Sì, per i teoremi di sylow esiste un sottogruppo di ordine $27$< poiché così esaurisci tutti gli elementi del gruppo allora il sylow è unico e quindi normale.
In realta’, non e’ possibile che $G$ non ha un unico
$p$-sottogruppo di Sylow sia per $p=5$ che per $13$.
Se l’insieme $X$ dei $13$-sottogruppi di Sylow ha $27$ elementi,
allora l’azione di un $5$-sottogruppo di Sylow $H$ su $X$ ha punti fissi.
Esiste quindi un $13$-sottogruppo di Sylow $Q$ normalizzato da $H$.
Poiche’ $\#Aut(Q)$ non e’ divisibile per $5$, il gruppo $H$ centralizza $Q$.
E quindi $Q$ centralizza $H$. Il normalizzante di $H$ ha quindi cardinalita'
divisibile per $65$. Il numero di $5$-sottogruppi di Sylow divide quindi $27$.
Questo implica che c’e’ un unico $5$-sottogruppo di Sylow.
Ogni gruppo di cardinalita' $1755$ ha un unico $5$-sottogruppo di Sylow,
contenuto nel centro, se non sbaglio.
$p$-sottogruppo di Sylow sia per $p=5$ che per $13$.
Se l’insieme $X$ dei $13$-sottogruppi di Sylow ha $27$ elementi,
allora l’azione di un $5$-sottogruppo di Sylow $H$ su $X$ ha punti fissi.
Esiste quindi un $13$-sottogruppo di Sylow $Q$ normalizzato da $H$.
Poiche’ $\#Aut(Q)$ non e’ divisibile per $5$, il gruppo $H$ centralizza $Q$.
E quindi $Q$ centralizza $H$. Il normalizzante di $H$ ha quindi cardinalita'
divisibile per $65$. Il numero di $5$-sottogruppi di Sylow divide quindi $27$.
Questo implica che c’e’ un unico $5$-sottogruppo di Sylow.
Ogni gruppo di cardinalita' $1755$ ha un unico $5$-sottogruppo di Sylow,
contenuto nel centro, se non sbaglio.
Grazie ragazzi, mi avete chiarito molto le idee!!!!!
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