Esercizio sui gruppi
Salve,oggi dopo aver ripreso la teoria sotto mano,ho continuato a fare un alcuni esercizi sulla teoria dei gruppi.Il problema è che uno di questi esercizi non so se lo svolto correttamente,quindi,se non vi reca disturbo,ci terrei ad un vostro parere.
L'esercizio è questo:
"Let $G$ a group of order 4,$G={e,a,b,ab}$,(dove $e$ è l'elemento neutro), \( a^2=b^2=e \) ,$ab=ba$.Determine the set of all
automorphism of $G$."
Per risolvere il problema ho fatto questo ragionamento:dato che $a^2=b^2$,allora $|a|=|b|$,(anche se io ho supposto che $a=-b$).Usando le mie supposizioni e le informazioni date,riscrivo $G$ come,$G={|a|,|a^2|}$,che se non sbaglio è un gruppo ciclico con generatore $|a|$.Quindi definisco un automorfismo $T:|x| ->|x|$,e l'insieme di tutti gli automorfismi che ho chiamato $A$,come $A={T}$.
La cosa che mi ha fatto dubitare è che $A$ è composto solo da $T$,che non mi sembra una risposta esatta.
L'esercizio è questo:
"Let $G$ a group of order 4,$G={e,a,b,ab}$,(dove $e$ è l'elemento neutro), \( a^2=b^2=e \) ,$ab=ba$.Determine the set of all
automorphism of $G$."
Per risolvere il problema ho fatto questo ragionamento:dato che $a^2=b^2$,allora $|a|=|b|$,(anche se io ho supposto che $a=-b$).Usando le mie supposizioni e le informazioni date,riscrivo $G$ come,$G={|a|,|a^2|}$,che se non sbaglio è un gruppo ciclico con generatore $|a|$.Quindi definisco un automorfismo $T:|x| ->|x|$,e l'insieme di tutti gli automorfismi che ho chiamato $A$,come $A={T}$.
La cosa che mi ha fatto dubitare è che $A$ è composto solo da $T$,che non mi sembra una risposta esatta.
Risposte
Ciao,
Scusa ma se G ha ordine $4$ perché lo poni uguale a ${|a|, |a|^2}$? E poi cosa intendi con |a|? Il modulo? E che vuol dire il modulo di un elemento in un gruppo?
Osserva che il gruppo è generato da $a, b$ e chiediti cos'è un automorfismo di gruppi e da cosa è determinato.
Scusa ma se G ha ordine $4$ perché lo poni uguale a ${|a|, |a|^2}$? E poi cosa intendi con |a|? Il modulo? E che vuol dire il modulo di un elemento in un gruppo?
Osserva che il gruppo è generato da $a, b$ e chiediti cos'è un automorfismo di gruppi e da cosa è determinato.
grazie per la risposta.Con $|a|$,intendo il valore assoluto,ma volendo riscrivere il gruppo sarebbe $G={a,-a,a^2,-a^2}$,che è di ordine 4.Per quanto riguarda gli automorfismi,se non sbaglio,sono degli isomorfismi che vanno da $G$ in se stesso.Scusa,che cosa intendi da cosa è determinato?
Ciao,
Sì ma il valore assoluto in un gruppo in generale NON ha senso, suppongo tu ti stia rifancendo al valore assoluto di un numero reale, che è definito così: $|x| = max{x, -x}$ ma capisci che per fare un massimo ci vuole un ordinamento e in un gruppo tu hai solo un insieme non vuoto $G$ e un'operazione definita su esso con delle determinate proprietà.
E comunque quel gruppo NON è cicliclo perché $a != b$, poi il simbolo $-$ in questo contesto cosa vuol dire? Devi riflettere su quello che scrivi, devi chiederti costantemente se quello che scrivi ha senso oppure no nel contesto in cui stai lavorando.
Corretto.
Consideriamo un gruppo $G$ generato da $a_1, ..., a_k \in G$ e $\varphi: G \to G$ automorfismo. Poiché $G$ è generato da ${a_1, ..., a_k}$ ogni elemento $g \in G$ si scrive come prodotto finito degli $a_1, ... , a_k$ e dei loro inversi, ne segue che se conosci $\varphi(a_1), ..., \varphi(a_k)$ allora conosci il valore di $\varphi$ su un qualsiasi elemento $g \in G$.
Facciamo un esempio: sia $G$ un gruppo ciclico di ordine quattro, diciamo $G = {e, a, a^2, a^3}$(dove $a^2 = a*a$, etc. e $*$ è l'operazione del gruppo), poiché $G$ è ciclico allora esiste almeno un $g \in G$ tale che $G =$, i candidati ad essere generatori di $G$ sono $a$ e $a^3$(verificare che sono entrambi generatori), per semplicità scegliamo $a$ come generatore, cioè $G = $. Consideriamo adesso un automorfismo $\varphi: G \to G$, per quanto detto sopra basta capire chi è $\varphi(a)$ per conoscere l'automorfismo. Bene, la domanda da porsi è: $\varphi(a)$ può essere un qualsiasi elemento di $G$? La risposta è no: un generatore può essere mandato solo in un altro generatore dello stesso ordine poiché gli automorfismi mantengono l'ordine degli elementi, quindi non posso mandare $a$ in $a^2$ ad esempio, e devono essere surgettivi(quindi non posso permettermi di non scegliere un generatore). Quindi le scelte sono $a$ e $a^3$, per cui gli automorfismi di $G$ sono: $id: G \to G$ che manda $a$ in $a$ e $\varphi : G \to G$ che manda $a$ in $a^3$, osserva che l'insieme ${id, \varphi}$ dotato della composizione fra funzioni è un gruppo.
Torniamo al problema: una coppia di generatori di $G$ sono $a$ e $b$, detto $\varphi: G \to G$, quali scelte ho per $\varphi(a)$ e $\varphi(b)$?
In generale trovare gli automorfismi di un gruppo $G$(abeliano o non abeliano) non è un problema banale che si risolve facilmente come sopra, perché bisogna fare alcune considerazioni in più che per adesso ti risparmio.
Ciao!
"mklplo":
grazie per la risposta.Con $|a|$,intendo il valore assoluto,ma volendo riscrivere il gruppo sarebbe $G={a,-a,a^2,-a^2}$,che è di ordine 4.
Sì ma il valore assoluto in un gruppo in generale NON ha senso, suppongo tu ti stia rifancendo al valore assoluto di un numero reale, che è definito così: $|x| = max{x, -x}$ ma capisci che per fare un massimo ci vuole un ordinamento e in un gruppo tu hai solo un insieme non vuoto $G$ e un'operazione definita su esso con delle determinate proprietà.
E comunque quel gruppo NON è cicliclo perché $a != b$, poi il simbolo $-$ in questo contesto cosa vuol dire? Devi riflettere su quello che scrivi, devi chiederti costantemente se quello che scrivi ha senso oppure no nel contesto in cui stai lavorando.
Per quanto riguarda gli automorfismi,se non sbaglio,sono degli isomorfismi che vanno da $G$ in se stesso.Scusa,che cosa intendi da cosa è determinato?
Corretto.
Consideriamo un gruppo $G$ generato da $a_1, ..., a_k \in G$ e $\varphi: G \to G$ automorfismo. Poiché $G$ è generato da ${a_1, ..., a_k}$ ogni elemento $g \in G$ si scrive come prodotto finito degli $a_1, ... , a_k$ e dei loro inversi, ne segue che se conosci $\varphi(a_1), ..., \varphi(a_k)$ allora conosci il valore di $\varphi$ su un qualsiasi elemento $g \in G$.
Facciamo un esempio: sia $G$ un gruppo ciclico di ordine quattro, diciamo $G = {e, a, a^2, a^3}$(dove $a^2 = a*a$, etc. e $*$ è l'operazione del gruppo), poiché $G$ è ciclico allora esiste almeno un $g \in G$ tale che $G =
Torniamo al problema: una coppia di generatori di $G$ sono $a$ e $b$, detto $\varphi: G \to G$, quali scelte ho per $\varphi(a)$ e $\varphi(b)$?
In generale trovare gli automorfismi di un gruppo $G$(abeliano o non abeliano) non è un problema banale che si risolve facilmente come sopra, perché bisogna fare alcune considerazioni in più che per adesso ti risparmio.
Ciao!
Grazie nuovamente per la risposta,ammetto che non immaginavo fosse tanto complicato risolvere questo problema.Da quello che mi sembra di capire, $\phi(a)$ e $\phi(b)$,devono essere dello stesso ordine di $a$ e di $b$,giusto?
Quindi penso,che $\phi(a)=b$ e $\phi(b)=a$,dato che $ab$ dovrebbe avere un ordine maggiore sia di $a$,che di $b$ e invece $e$ dovrebbe essere di ordine $0$,giusto?
Quindi penso,che $\phi(a)=b$ e $\phi(b)=a$,dato che $ab$ dovrebbe avere un ordine maggiore sia di $a$,che di $b$ e invece $e$ dovrebbe essere di ordine $0$,giusto?
"mklplo":
Grazie nuovamente per la risposta,ammetto che non immaginavo fosse tanto complicato risolvere questo problema.Da quello che mi sembra di capire, $\phi(a)$ e $\phi(b)$,devono essere dello stesso ordine di $a$ e di $b$,giusto?
Quindi penso,che $\phi(a)=b$ e $\phi(b)=a$,dato che $ab$ dovrebbe avere un ordine maggiore sia di $a$,che di $b$ e invece $e$ dovrebbe essere di ordine $0$,giusto?
E perché $ab$ ha ordine maggiore? Ne sei sicuro? Su, dimostra che ha ordine maggiore o che ha ordine uguale a quello di $a$ o $b$(già che ci siamo, qual è l'ordine di $a$? E quello di $b$?)
scusa la mia ignoranza,ma l'ordine non equivale al" grado del monomio"(fattasi eccezione per $e$ che è l'elemento neutro)?
"mklplo":
scusa la mia ignoranza,ma l'ordine non equivale al" grado del monomio"?
No!
Siano $G$ un gruppo e $g \in G$: l'ordine di $g$, se esiste, è $o(g) = min{ n \in \mathbb{N} | g^n = e}$ cioè è il più piccolo intero positivo $n$ per cui $g^n = e$; se $g^n != e$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ allora si dice che $g$ ha ordine infinito.
Per esempio gruppo dell'esercizio $a$ ha ordine $2$ invece $1$ in $(\mathbb{Z}, +)$ ha ordine infinito.
ah,grazie,quindi $a$ e $b$ sono di ordine $2$,come $ab$,in quanto $a^2b^2=e^2=e$,giusto?
"mklplo":
ah,grazie,quindi $a$ e $b$ sono di ordine $2$,come $ab$,in quanto $a^2b^2=e^2=e$,giusto?
Giusto, quindi quali sono questi automorfismi?
quindi $phi(a)=phi(b)=phi(ab)=phi(e)$,dove \( \phi:G\rightarrow G \) è la famiglia di funzioni \( \phi(x)=x^{2n} \) \( \forall n \in N \) ,giusto?
"mklplo":
quindi $phi(a)=phi(b)=phi(ab)=phi(e)$,dove \( \phi:G\rightarrow G \) è la famiglia di funzioni \( \phi(x)=x^{2n} \) \( \forall n \in N \) ,giusto?
No.
Conosci la definizione di omomorfismo di gruppi?
$phi:G->H$ è un'omomorfismo,se per ogni $a,b in G$,$phi(ab)=phi(a)phi(b)$,giusto?
"mklplo":
$phi:G->H$ è un'omomorfismo,se per ogni $a,b in G$,$phi(ab)=phi(a)phi(b)$,giusto?
Giusto, allora mi spieghi come diavolo fa a valere $\phi(a) = \phi(e) = e$ se $\phi$ è un automorfismo? Devi riflettere su quello che scrivi.
Sai che $G =
i generatori di $G$ penso siano $a,b,ab$ e quindi $phi(a)=b$ o $phi(a)=ab$,giusto?
"mklplo":
i generatori di $G$ penso siano $a,b,ab$ e quindi $phi(a)=b$ o $phi(a)=ab$,giusto?
Corretto, cioè $G$ può essere generato da ${a, b}$, ${a, ab}$, ${b, ab}$(dimostra che questi insiemi generano $G$). Attenzione però: anche $a$ è una scelta valida come generatore, quindi le scelte per $\phi(a)$ sono tre: $\phi(a) = a$ oppure $\phi(a) = b$ oppure $\phi(a) = ab$, adesso per $\phi(b)$ le scelte diminuiscono: ne ho solo due perché devo escludere il generatore precedentemente scelto(devo escludere anche i generatori del sottogruppo generato da $\phi(a)$ ma in questo caso esso ha ordine $2$ sicché l'unico generatore di $<\phi(a)>$ è $\phi(a)$ stesso).
Quindi gli automorfismi in totale sono $6$, un esempio è $\phi: G \to G$ tale che $\phi(a) = b$ e $\phi(b) = ab$, un altro è l'identità che manda $a$ in $a$ e $b$ in $b$, un altro ancora è $\psi: G \to G$ tale che $\psi(a) = b$ e $\psi(b) = a$.
quindi una volta individuato il numero di generatori,basta fare il fattoriale di quel numero per ottenere quello degli automorfismi?
"mklplo":
quindi una volta individuato il numero di generatori,basta fare il fattoriale di quel numero per ottenere quello degli automorfismi?
No, magari fosse così facile
.In questo caso il numero è $3!$, ma è una coincidenza: più che altro ti è chiaro perché viene proprio $6$? Ho $3$ scelte per il primo generatore, $2$ per il secondo quindi in totale ho $6= 3*2$ automorfismi.
Rifletti sul procedimento: hai individuato i generatori di un gruppo, hai scelto un insieme di generatori, hai contato quante scelte hai per ogni generatore dell'insieme e hai verificato che queste scelte siano effettivamente valide. In generale questo procedimento può funzionare o meno, diciamo che è un buon primo attacco. Per gruppi ciclici e particolari gruppi abeliani c'è una macchinetta che ti trova automaticamente gli automorfismi, per gruppi strani(anche abeliani) il discorso diventa lungo e tecnico. Prima di pensare a questo problema ti consiglio di consolidare e capire le nozioni di base che stai studiando, chissenefrega se c'è il cannone che ti risolve il problema in una riga: sporcati le mani e fai esperienza!
grazie,ancora erano proprio le intenzioni che avevo da qui a settembre,consolidare gli argomenti studiare,per non avere problemi in seguito.(infatti proprio per questo sto cercando di capire anche come funziona il quoziente fra insiemi e gruppi,come si può constatare dall'ultimo thread che ho aperto.)
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