Esercizio sui gruppi

[lucia88]

Ciao a tutti!
Sto provando a fare questo esercizio:
$G$ gruppo che ha cardinalità $|G|=2k$, u unità
Si dimostri che in G l'insieme degli elementi g, $g!=u$ tale che $g^2=u$ ha un numero dispari di elementi


Praticamente io volevo dimostrarlo per induzione su K

Invece il libro dice di considerare l'insieme H degli elementi che non coincidono col proprio inverso e dice che OVVIAMENTE è pari
è perchè un gruppo H che ha sempre sottogruppi di ordine 2 del tipo X={a,u} e quindi per il teorema di Lagrange l'ordine di H è multiplo di 2?

[stormy1]

se un elemento non ha come simmetrico se stesso,vuol dire che il suo simmetrico è un altro elemento
quindi,gli elementi di questo tipo formano delle coppie:
$(x_1,y_1),(x_2,y_2),....(x_n,y_n)$ con $x_i$ e $y_i$ reciprocamente simmetrici