Esercizio sui domini di integrità
Sia $A$ un dominio d’integrità, e $a, b \in A$. Si provi che se esistono interi positivi coprimi $n,m$ tali che $a^{n} = b^{n}$ e $a^{m} =b^{m}$ allora $a = b$.
Le mie ipotesi sono quindi che esistono $\alpha, \beta$ interi tali che $1 = n\alpha + m\beta$ (Bezout) e che $a^{n} = b^{n}$ e $a^{m} =b^{m}$.
Suppongo per assurdo che $a \neq b$. Allora abbiamo $a^{n} = a^{\frac{1 - \beta m}{\alpha}} = b^{n}$ e $a^{m} = a^{\frac{1 - \alpha n}{\beta}} = b^{m}$. Ma questa strada poi non mi porta da nessuna parte ... Quindi vi chiedo se mi date gentilmente una mano .. per risolvere l'esercizio, grazie
Adesso come arrivo a dimostrare che $a = b$ ?
Le mie ipotesi sono quindi che esistono $\alpha, \beta$ interi tali che $1 = n\alpha + m\beta$ (Bezout) e che $a^{n} = b^{n}$ e $a^{m} =b^{m}$.
Suppongo per assurdo che $a \neq b$. Allora abbiamo $a^{n} = a^{\frac{1 - \beta m}{\alpha}} = b^{n}$ e $a^{m} = a^{\frac{1 - \alpha n}{\beta}} = b^{m}$. Ma questa strada poi non mi porta da nessuna parte ... Quindi vi chiedo se mi date gentilmente una mano .. per risolvere l'esercizio, grazie
Adesso come arrivo a dimostrare che $a = b$ ?
Risposte
$A$ è un dominio, quindi ha un campo dei quozienti $K$. In $K$, tutti gli elementi di $A$ hanno un inverso, quindi ha senso elevare a potenze negative. Il che vuol dire che in $K$ ha senso (tenendo le tue notazioni) calcolare, ad esempio, $a^{n\alpha}$ e $a^{m\beta}$. Vedi come continuare da qua?
Ciao Hydro, grazie per la risposta ma non ho ben capito.. il tuo ragionamento.. Partendo dall'inizio K è il campo dei quozienti (il campo delle frazioni di A, intendi?)....
Poi mi sono persa...
Poi mi sono persa...
Sì sì campo delle frazioni. Il punto è che tu vorresti ottenere $a$ a partire da $a^n$ e $a^m$, e come giustamente hai notato siccome $m,n$ sono coprimi vorresti usare l'identità di Bezout. Ma se $\alpha$ è negativo la quantità $a^{n\alpha}$ non vive necessariamente in $A$, perchè $a$ potrebbe non essere invertibile...
"hydro":
$A$ è un dominio, quindi ha un campo dei quozienti $K$. In $K$, tutti gli elementi di $A$ hanno un inverso, quindi ha senso elevare a potenze negative. Il che vuol dire che in $K$ ha senso (tenendo le tue notazioni) calcolare, ad esempio, $a^{n\alpha}$ e $a^{m\beta}$. Vedi come continuare da qua?
Allora ottengo che $a^{n\alpha} = b^{n\alpha}$ e $a^{m\beta} = b^{m\beta}$ ho che $a^{n\alpha + m\beta} = b^{n\alpha + m\beta}$ e quindi $a = b$. Però non ho capito perché devo essere in un campo affinché ciò avvenga ( o comunque a cosa serva il fatto che $A$ è un dominio )
"hydro":
Sì sì campo delle frazioni. Il punto è che tu vorresti ottenere $a$ a partire da $a^n$ e $a^m$, e come giustamente hai notato siccome $m,n$ sono coprimi vorresti usare l'identità di Bezout. Ma se $\alpha$ è negativo la quantità $a^{n\alpha}$ non vive necessariamente in $A$, perchè $a$ potrebbe non essere invertibile...
Giusto, $a$ potrebbe non essere invertibile... E quindi nel campo delle frazioni di $A$ si ha che $a$ è invertibile si.. però, cioè nel senso.. questo perché se $a \in A$ allora $a \in F(A)$ (F(A) campo delle frazioni di $A$? )
"hydro":
Sì sì campo delle frazioni. Il punto è che tu vorresti ottenere $a$ a partire da $a^n$ e $a^m$, e come giustamente hai notato siccome $m,n$ sono coprimi vorresti usare l'identità di Bezout. Ma se $\alpha$ è negativo la quantità $a^{n\alpha}$ non vive necessariamente in $A$, perchè $a$ potrebbe non essere invertibile...
Forse ci arrivo... Il campo delle frazioni di $A$ è un'estensione di $A$ quindi se $a \in A$ allora $a$ sta nel campo... Quindi è invertibile e se $\alpha$ fosse negativo non ci sarebbe alcun problema perché esiste l'inverso... Dici questo giusto ? Per il resto, ho risposto bene quando sono arrivata alla conclusione $a = b$?
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