Esercizio sui campi

[doppio1]

Buondì. Ho trovato il seguente esercizio, che riuscivo a risolvere solo in parte. Sia K campo contenente tutte le radici $n$-esime dell'unità. Poniamo [tex]E = K(t)[/tex], dove t è trascendente su K. Mostrare che il polinomio [tex]X^n-t[/tex] è irriducibile in [tex]E[X][/tex]. Sia s una radice $n$-esima di t. Mostrare che [tex]E[/tex] è un campo di spezzamento di [tex]X^n -t[/tex] e che s è trascendente su K.
Il primo punto, l'avrei svolto in questa maniera: siccome t è trascendente su K, esso è in [tex]K[t][/tex] elemento irriducibile, altrimenti lo si potrebbe scrivere come [tex]t=ab[/tex], dove sia a che b contengono la t con esponente maggiore di zero (lo si può formalizzare dicendo che esiste un isomorfismo [tex]K[t] \rightarrow K[X][/tex]). Ma in [tex]K[t][X][/tex] vale il criterio di Eisenstein, per cui il polinomio è lì irriducibile. Dunque è irriducibile pure in [tex]E[X][/tex].
Idee per il secondo (e pure il primo, se è sbagliato) punto?

[doppio1]

Per il secondo punto, ho avuto un'idea, ovverosia che, detta [tex]\alpha_i[/tex] la i-esima radice n-esima dell'unità, [tex]P(X)=X^n-t[/tex] si scompone come [tex](X-s\alpha_1)(X-s\alpha_2)\cdots(X-s\alpha_n)[/tex]. Mi manca dunque da dimostrare che in nessun sottocampo proprio di [tex]E[/tex], [tex]P(X)[/tex] si spezza. Come posso fare?

[maurer]

Supponiamo che [tex]P(X)[/tex] si spezzi in [tex]L \subset E[/tex]. Allora [tex]s \in L[/tex], da cui [tex]t \in L[/tex] e quindi [tex]L[/tex] contiene [tex]K[/tex], [tex]t[/tex] e [tex]s[/tex]. Segue che [tex]E \subset L[/tex], ossia [tex]E = L[/tex] e questo prova la tua minimalità. Ti convince?

Gli altri punti a me sembrano corretti, ma invito qualcun altro a dare conferma, perché io ho iniziato questa settimana a fare un po' di self-study sulle estensioni di campi, quindi il mio parere potrebbe non essere esattamente affidabile.

[doppio1]

Sì, mi convince. In realtà mancava una cosa: dimostrare che s è trascendente su K. Poniamo dunque che s sia algebrico su K, sia Q il suo polinomio minimo. L'idea bieca è questa, siccome [tex]Q(s)=0[/tex], allora portiamo a secondo membro il termine noto (se ve n'è uno), ed eleviamo tutti e due i lati alla potenza n-esima. Otteniamo una cosa del tipo [tex]t^k\left(\sum_{i=0}^{n-1}{a_is^i}\right)^n=a_0^n[/tex]. Espandiamo la potenza del polinomio, portiamo il termine con [tex]t^k[/tex] a secondo membro (quello che viene dalla moltiplicazione del termine noto della potenza del polinomio con [tex]t^k[/tex]), facciamo le possibili sostituzioni del tipo [tex]t=s^n[/tex], e così procediamo, prendendo sempre potenze n-esime (forse questo procedimento potrebbe non terminare). Sapete indicarmi una via un po' più intelligente?

[maurer]

Ops, è vero! Mi ero dimenticato della seconda domanda! Rimedio adesso: per assurdo, supponiamo che [tex]s[/tex] sia algebrico su [tex]K[/tex]. Allora [tex]K[/tex] è un'estensione di grado finito di [tex]K[/tex]. Ma [tex]s^n = t[/tex], da cui [tex]t \in K[/tex] e quindi [tex]K(t) \subset K[/tex]. Assurdo, perché seguirebbe che il grado dell'estensione [tex]K(t)[/tex] sarebbe minore di quello di [tex]K[/tex] e quindi finito, mentre, essendo [tex]t[/tex] trascendente su [tex]K[/tex], sappiamo che [tex]K(t)[/tex] deve avere grado infinito. Pertanto [tex]s[/tex] è trascendente su [tex]K[/tex].

Ci ho girato un po' intorno, ma la sostanza è molto più semplice del tuo ragionamento e mi sembra funzionare. Tu che cosa ne dici?

[doppio1]

Già, mi sono complicato la vita. Funziona, funziona, grazie!