Esercizio sugli isomorfismi

[7ania92]

Chi può aiutarmi a risolvere questo esercizio?? (il punto b del numero 2)
http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete/Tracce/traccia_30.pdf
Io ho trovato che l'applicazione è sempre un omomorfismo, ma non sarà mai un isomorfismo perchè per essere un monomorfismo $n$ deve dividere $a$ , e per questi valori non avrò mai un epimorfismo. Ma sono sicura di essere completamente fuori strada ...

[Pappappero1]

I due gruppi hanno lo stesso ordine, quindi è sufficiente mostrare che un omomorfismo è iniettivo per avere la garanzia che sia un isomorfismo.

A questo punto basta trovare delle condizioni necessarie e sufficienti su $n$ affinché $ker \phi_n =0$.

[7ania92]

L'elemento neutro del gruppo di arrivo è $([0]_2 , [0]_n)$, quindi devo trovare le soluzioni del sistema:
$ a equiv 0(mod2) e 10a equiv 0(mod n) $. Quindi impongo che 2 e n siano coprimi, quindi n deve essere dispari, e procedo se possibile con la risoluzione del sistema per vedere se ottengo altre informazioni e ovviamente per vedere per quali valori di $n$ dispari $a equiv 0(mod 2n)$... va bene come ragionamento?

[7ania92]

però anche così se poi faccio la verifica per la suriettività non mi trovo

[7ania92]

ah no no ho risolto! avevo dimenticato nella risoluzione del sistema di imporre $ [10]_n ne [0]_n$

[7ania92]

grazie mille dell'aiuto!