Esercizio sugli Interi di Gauss

[liberatorimatteo]

Devo svolgere questo esercizio bello lungo...

Sia $R$ l’anello $mathbb(Z)$ degli interi di Gauss.
(a) Dimostrare che ogni ideale non nullo di $R$ contiene un intero positivo.
(b) Dimostrare che ogni ideale non nullo di $R$ ha indice finito.
(c) Dedurre che gli ideali primi non nulli di $R$ sono massimali. (Sugg: Dimostrare che ogni dominio finito è un campo)
(d) Dimostrare che $ R^(\ast) = {±1, ±i} $
(e) Dimostrare che $i + 1$ è un elemento irriducibile di $R$.
(f) Sia $p ≡ 3 (mod 4)$ un numero primo. Dimostrare che $p$ è un elemento irriducibile di $R$.
(g) Si sa che per ogni primo $p ≡ 1 (mod 4)$ esistono $a, b ∈ mathbb(Z)$ tali che $p = a^2+b^2$. Dimostrare che $π = a + bi$ e $π' = a − bi$ sono elementi irriducibili di $R$.
(h) Dimostrare che un elemento irriducibile di $R$ necessariamente divide qualche numero primo. Dedurne che, a meno di elementi invertibili, gli elementi irriducibili di $R$ sono quelli che appaiono nelle parti (e), (f) e (g).

Vi scrivo ciò che ho fatto io:

(a) Sia $I$ un ideale non nullo di $R$. Chiaramente se $a − bi\inI \Rightarrow a^2+b^2\inI$.
(b) Ho pensato che se $a^2+b^2\inI$ per il punto (a) allora $(m)\subseteqI$ ove $m=a^2+b^2$ quindi $#(R//I)<=#(\mathbb(Z)//(m, x^2+1))=m^2$ Ma non so come far vedere che $#(\mathbb(Z)//(m, x^2+1))=m^2$ (sempre se è vero)... Avevo pensato che $\mathbb(Z)//(m, x^2+1)\cong\mathbb(Z)_m$ ma non è sempre vero, basta pensare a $m=5$ però anche con $m=5$ ho comunque cardinalità $m^2$ quindi penso sia vero.
(c) Ho dimostrato il suggerimento quindi sapendo che $I$ è primo se e solo se $R//I$ è un dominio e sapendo che sicuramente è finito per il punto b ho concluso.
(d) Chiaramente $(a+ib)(a'+ib')=aa'+b(b)'+i(ab'+a'b)=1 Leftrightarrow {(aa'-b(b)'=1),(ab'+a'b=0):} Leftrightarrow {(b=(-b')/((a')^2-(b')^2)),(a=(a')/((a')^2-(b')^2)):} $
le cui uniche soluzioni sono quelle contenute in $R^(\ast) = {±1, ±i}$.
(e) Se, per assurdo, $1+i$ non fosse irriducibile allora $existsa,b\inR: 1+i=ab Leftrightarrow 2=N(a)N(b)$ quindi $N(b)=1 Leftrightarrow b\inR^(\ast)$
(f) Ho provato a fare qualcosa con le norma senza risultato
(g)Se, per assurdo, $π$ non fosse irriducibile allora $exists x,y\inR: π=xy Leftrightarrow N(π)=p=N(x)N(y)$ quindi $N(y)=1 Leftrightarrow b\inR^(\ast)$
(h) Non so come procedere

Potreste darmi qualche suggerimento e confermarmi che ciò che ho fatto è giusto?

[killing_buddha]

Ma l'indice di un ideale come è definito ? E' la cardinalità di \(R/I\)?

[liberatorimatteo]

"killing_buddha":Ma l'indice di un ideale come è definito ? E' la cardinalità di \(R/I\)?

Non ne abbiamo mai parlato a lezione ma credo che in questo si intenda la cardinalità R/I

[Studente Anonimo]

"Freebulls":(b) Ho pensato che se $a^2+b^2\inI$ per il punto (a) allora $(m)\subseteqI$ ove $m=a^2+b^2$ quindi $#R/I<=#\mathbb(Z)/((m)(x^2+1))=m^2$ Ma non so come far vedere che $#\mathbb(Z)/((m)(x^2+1))=m^2$ (sempre se è vero)... Avevo pensato che $#\mathbb(Z)/((m)(x^2+1))\cong\mathbb(Z)_m$ ma non è sempre vero, basta pensare a $m=5$ però anche con $m=5$ ho comunque cardinalità $m^2$ quindi penso sia vero.

La prima cosa che hai scritto risolve questo punto dell'esercizio, poi non ho capito bene, la tua congettura è che se l'ideale è generato da $a+ib$ allora l'indice di tale ideale è $(a^2+b^2)^2$? Questo è falso, per esempio $ZZ//(1+i)$ ha $2$ elementi. In realtà si dimostra (ma non è facilissimo) che l'indice dell'ideale $(a+ib)$ è $a^2+b^2$ (e tutti gli ideali di $ZZ$ sono di questo tipo, perché $ZZ$ è un dominio a ideali principali, essendo un dominio euclideo).

Per il punto $d$ se scrivi $N(a+ib)=1$ trovi immediatamente che $a+ib$ è $1$, $-1$, $i$ o $-i$.

Per il punto $f$ il fatto che $p$ è irriducibile in $ZZ$ si traduce (scrivendo $ZZ=ZZ[X]//(X^2+1)$ e facendo un po' di giochetti) nel fatto che $X^2+1$ è irriducibile modulo $p$. Questo è equivalente a dire che $-1$ NON è un quadrato modulo $p$, il che a sua volta è equivalente a dire che $p$ è congruente a $3$ modulo $4$ (per esempio usando il simbolo di Lagrange).

[liberatorimatteo]

"Martino": se l'ideale è generato da $a+ib$ allora l'indice di tale ideale è $(a^2+b^2)^2$? Questo è falso, per esempio $ZZ//(1+i)$ ha $2$ elementi. In realtà si dimostra (ma non è facilissimo) che l'indice dell'ideale $(a+ib)$ è $a^2+b^2$ (e tutti gli ideali di $ZZ$ sono di questo tipo, perché $ZZ$ è un dominio a ideali principali, essendo un dominio euclideo).

No non era quello ciò che intendevo. Faccio un esempio: chiaramente $ZZ//(3, x^2+1)\congZZ_3$ che ha cardinalità 9$9=3^2$ invece $ZZ//(5, x^2+1)\congZZ_5\timesZZ_5$ (per il teorema cinese del resto) che ha comunque cardinalità $25=5^2$. Quindi suppongo che in generale $#(ZZ//(m, x^2+1))=m^2$, ma tale cosa è giusta? O forse vale solo per i primi?

[Studente Anonimo]

E' giusto, e' un caso particolare del fatto generale che $ZZ//(a+ib)$ ha cardinalita' $a^2+b^2$ (stai considerando il caso $b=0$).

[liberatorimatteo]

"Martino":Per il punto $f$ il fatto che $p$ è irriducibile in $ZZ$ si traduce (scrivendo $ZZ=ZZ[X]//(X^2+1)$ e facendo un po' di giochetti) nel fatto che $X^2+1$ è irriducibile modulo $p$. Questo è equivalente a dire che $-1$ NON è un quadrato modulo $p$, il che a sua volta è equivalente a dire che $p$ è congruente a $3$ modulo $4$ (per esempio usando il simbolo di Lagrange).

Ok mi è chiaro quindi posso fare così:
Poiché $ZZ$ è un PID, dimostrare che un elemento è irriducibile è equivalente a dimostrare che è un elemento primo. Poiché $\existsx\inZZ: x^2\equiv-1 (mod p)$ se è solo se $p\equiv1 (mod 4)$ so che $ZZ//(p)\congZZ_p$ perché per ipotesi $p\equiv3 (mod 4)$. Quindi $(p)$ è primo perché $ZZ_p$ è un dominio e di conseguenza $p$ è un elemento primo di $ZZ$ (e quindi irriducibile).

Infine potete darmi qualche suggerimento per risolvere l'ultimo punto, ossia il punto (h)?

"Martino":E' giusto, e' un caso particolare del fatto generale che $ZZ//(a+ib)$ ha cardinalita' $a^2+b^2$ (stai considerando il caso $b=0$).

Ok quindi la mia dimostrazione va bene. Il prof ci ha suggerito un altra strada e ho provato e mi pare più chiaro perché non devo usare questo fatto che non ho dimostrato. L'altra dimostrazione è la seguente:
Sia $I=(a+ib)$ e sia $x+iy+I\inZZ//I$. Poiché $ZZ$ è un dominio euclideo ho che $\existsr,q\inZZ:x+iy=q\cdot(a+ib)+r$ con $N(r)//I$ da $r$, ossia ogni elemento in $ZZ//I$ ammette un rappresentate avente norma minore di $a^2+b^2$ e quindi è finito. Forse posso sfruttare ciò per dimostrare che $#(ZZ//I)=a^2+b^2$?