Esercizio Sugli Insiemi

[montanaro.giovanni]

Salve,

Mi potete aiutare gentilmente a capire cosa mi chiede l'esercizio sugli insiemi ??
Non avendo dimestichezza con la matematica, chiedo qui

Siano B e C sottoinsiemi di un insieme A. Si dimostri che

$C_A$ (B ∪ C) = $C_A$(B) ∩ $C_A$(C)
e
$C_A$(B ∩ C) = $C_A$(B) ∪ $C_A$(C)


Grazie Tante

[axpgn]

Sai cos'è l'insieme complementare (o complemento di un insieme) ?

[montanaro.giovanni]

Il complementare sarebbe la differenza insiemistica in sintesi, almeno da quanto capito su ****.

Come si fà a dimostrare quell'esercizio ??

[axpgn]

Molto in sintesi ...

A parole:
Gli elementi di $B uu C$ sono quelli che appartengono a $B$ o a $C$ o a tutti e due, quindi il complemento di $B uu C$ è formato da tutti gli elementi di $A$ che, contemporaneamente, non appartengano né a $B$ né a $C$.
A destra abbiamo due insiemi: il complemento di $B$ (cioè gli elementi di $A$ che non appartengono a $B$ ma potrebbero appartenere a $C$) e il complemento di $C$ (cioè gli elementi di $A$ che non appartengono a $C$ ma potrebbero appartenere a $B$); la loro intersezione quindi è formata dagli elementi che, contemporaneamente, non appartengano né a $B$ né a $C$ cioè è lo stesso insieme del membro di sinistra.

Prova tu con l'altra ...

[montanaro.giovanni]

Quindi alla fine basta esporre a parole insomma..

Comunque ci provo anche io a parole:

Gli elementi di $B ∩ C$ sono quelli che appartengono sia a $B$ che a $C$, quindi il complemento $B ∩ C$ è formato da tutti gli elementi di $A$ che, contemporaneamente, appartengono sia a $B$ sia a $C$.
A destra abbiamo abbiamo due insiemi: il complemento di $B$ (cioè gli elementi di $A$ che appartengono a $B$ ma potrebbero anche appartenere a $C$) e il complemento $C$ (cioè tutti gli elementi di $A$ che appartengono a $C$ ma potrebbero anche appartenere a $B$); la loro unione quindi è formata dagli elementi che, contemporaneamente, appartengano a $B$ e a $C$ cioè è lo stesso insieme del membro di sinistra.

Come schema ho usato le tue stesse parole ora dimmi se è giusto o meno per favore ..

Ma alla fine queste sono le Leggi Di De Morgan vero

[axpgn]

Si può fare anche "a parole" ma quelle giuste però ... ... qui ci sono errori grossi ...

[montanaro.giovanni]

Correggimi per favore..

Devo imparare e superare un'esame..

[axpgn]

Rileggi per bene la prima frase che hai scritto, se non noti l'incongruenza è grave ... e poi è anche peggio ...

[montanaro.giovanni]

Rileggendo la prima parte: Gli elementi di $B∩C$ sono quelli che appartengono sia a $B$ che a $C$, fino a qua è giusto, perchè parliamo di intersezione, la seconda parte del discorso mi è incerta, sto provando a ragionare, ma non mi è chiaro il tutto..

[axpgn]

Come possono gli elementi di un insieme appartenere ANCHE al suo complemento?
O stanno in uno o stanno nell'altro ...

Ti può essere utile anche fare un disegnino con i diagrammi di Venn

[montanaro.giovanni]

Quindi è giusto scrivere che gli elementi di $B ∩ C$ è formato da tutti gli elementi di $A$ che, contemporaneamente, non appartengano né a $B$ né a $C$.

[axpgn]

Chiamiamo $X$ l'insieme intersezione tra $B$ e $C$ cioè $X=B nn C$ e chiamiamo $Y$ il complemento dell'intersezione cioè $Y=\bar(B nn C)$ (la barra sopra un insieme rappresenta il suo complemento).
Gli elementi di $A$ hanno solo due possibilità: o stanno in $X$ o stanno in $Y$.
In $X$ ci stanno quelli che appartengono contemporaneamente sia a $B$ che a $C$, in $Y$ tutti gli altri elementi e cioè quelli che o NON appartengono a $B$ o NON appartengono a $C$ o NON appartengono a nessuno dei due. Chiaro?

Un paio di consigli: fai un disegnino usando i diagrammi di Venn! e poi una ripassata al capitolo sugli insiemi è necessaria ...

Cordialmente, Alex

[montanaro.giovanni]

Grazie dell'aiuto, ora è più chiaro..

Seguirò senz'altro i tuoi consigli..

Saluti,
Giovanni.