Esercizio sugli ideali
Buongiorno, chiedo uno spunto sul seguente esercizio:
Sia A un anello e I un ideale sinistro di A. Mostrare che $J={x in A\ t.c.\ x*i=0\ per\ ogni\ i\ in I}$ è un ideale bilatero di A.
Grazie in anticipo
Sia A un anello e I un ideale sinistro di A. Mostrare che $J={x in A\ t.c.\ x*i=0\ per\ ogni\ i\ in I}$ è un ideale bilatero di A.
Grazie in anticipo
Risposte
Usa la definizione di ideale. E' tutto. 
La definizione di ideale sinistro è: Un sottogruppo I del gruppo additivo $(A,+)$ si dice ideale sinistro se: $per\ ogni\ a\ in\ A\ e\ per\ ogni\ i\ in I, i*a in I$.
Il sottogruppo J del gruppo additivo $(A,+)$ è ideale bilatero se: $per\ ogni\ a\ in\ A\ e\ per\ ogni\ j\ in J, j*a in J\ e\ a*j\ in\ J $. Gli elementi di $J$ sono gli elementi a di A tali che $a*i=0\ per\ ogni\ i\ in\ I$.
Non riesco proprio a vederlo.
Il sottogruppo J del gruppo additivo $(A,+)$ è ideale bilatero se: $per\ ogni\ a\ in\ A\ e\ per\ ogni\ j\ in J, j*a in J\ e\ a*j\ in\ J $. Gli elementi di $J$ sono gli elementi a di A tali che $a*i=0\ per\ ogni\ i\ in\ I$.
Non riesco proprio a vederlo.
Su, non e' difficile. Per quale motivo la somma di due elementi di $J$ sta in $J$? Per quale motivo per ogni $j$ in $J$ e per ogni $x$ in $A$, sia $jx$ che $xj$ stanno in $J$?
Per quanto riguarda la somma di due elementi di J, dovrebbe essere che presi $a,b\ in\ J$ si ha che $a*i=0$ e $b*i=0$, quindi la somma risulta $(a+b)*i=0$, che quindi sta in J.
Alla seconda domanda non so proprio rispondere
Alla seconda domanda non so proprio rispondere
Il motivo non e' dissimile; coraggio!
Temo di dire una cavolata ma ci provo:
Faccio $x*j$ ma so che $j$ è un elemento $a\ in\ A$ tale che $a*i=0$, quindi il prodotto iniziale diventa: $x*j=x*(a*i)=(x*a)*i=0$. $x*j \in J$.
D'altro canto $j*x$ può essere scritto come $j*x=(a*x)*i=0$, quindi $j*x \in\ J$
Faccio $x*j$ ma so che $j$ è un elemento $a\ in\ A$ tale che $a*i=0$, quindi il prodotto iniziale diventa: $x*j=x*(a*i)=(x*a)*i=0$. $x*j \in J$.
D'altro canto $j*x$ può essere scritto come $j*x=(a*x)*i=0$, quindi $j*x \in\ J$
"manuelb93":
So che $j$ è un elemento $a\ in\ A$ tale che $a*i=0$
No, che vuol dire questo?
Piuttosto, se $a\in A$ e $j\in J$ allora $aj$ sta in $J$ perché $(aj)i=a(ji)=a0=0$, e $ja$ sta in $J$ perché $jai=j(ai)$ e $ai\in I$, perché $I$ è un ideale.
la premessa ha avuto seguito, visto?!
Grazie mille
Ma il fatto che $a*i\ in\ I$ non l'ho capito, I è ideale sinistro.
Grazie mille
Ma il fatto che $a*i\ in\ I$ non l'ho capito, I è ideale sinistro.
Hai ragione. Ho delle dispense con le definizioni di Ideale destro e sinistro invertite. Infatti anche nel mio secondo messaggio ho scritto la versione sbagliata.. Grazie ancora, adesso ci siamo
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