Esercizio sugli anelli

[serway2]

Si consideri l'anello $ZZ_5[x]$ e gli ideali $I=(x^4+2x^3+x^2+x-1)$, $J=(x^4+x^3+x^2-2x-1)$.
Calcolare gli elementi degli ideali $(I+J)/I$ e $J/(I nn J)$

Facendo qualche conto mi è uscito che
$x^4+2x^3+x^2+x-1=(x^2-2)(x^2+2x-2)$
e $x^4+x^3+x^2-2x-1=(x-1)(x+2)(x^2-2)$
Quindi $I+J=(MCD((x^2-2)(x^2+2x-2); (x-1)(x+2)(x^2-2)))=((x^2-2))$
$I nn J=(mcm((x^2-2)(x^2+2x-2); (x-1)(x+2)(x^2-2)))=((x-1)(x-2)(x^2-2)(x^2+2x-2))$
Detto questo come calcolo gli elementi degli ideali $(I+J)/I$ e $J/(I nn J)$ ?

[mistake89]

Non maneggio gli anelli da un bel po', però gli elementi di $I+J$ dovrebbero essere del tipo $f(x)(x^2-2)$ con $f(x) in ZZ_5[x]$ per cui gli elementi di $I+J//I$ dovrebbero essere del tipo $f(x)(x^2-2) + I$.

Quanto all'altro ideale, forse puoi usare il (primo?) teorema di isomorfismo e ridurti a calcolare $I+J//J$

Attendiamo conferme però

[serway2]

si la tua risposta infatti è corretta
solo che in questo modo abbiamo come è fatto un generico elemento di questi due quozienti
secondo me invece si possono calcolare esplicitamene tutti gli elementi di quegli ideali, il problema è capire come

[mistake89]

Mmm elencarli tutti non mi pare proprio semplicissimo

A me verrebbe da dire che $f(x)$ deve avere grado $<=2$ quindi $f(x)=ax^2+bx+c$ con $a,b,c in ZZ_5$
E le scelte sono $5^3$.

EDIT: Forse basta che abbia grado $<=1$? In tal caso hai $25$ elementi. Mmm ci devo pensare, ma forse è questa quella corretta.

[serway2]

sicuramente possiamo dire che $deg(f(x)(x^2-2))<=3$
questo perchè il polinomio $x^4+2x^3+x^2+x-1$ ha grado 4 e quindi se otteniamo un polinomio di grado $>=4$ basta normalizzarlo dividendolo per $x^4+2x^3+x^2+x-1$.
Dunque a questo punto verrebbe da dire che f(x) debba avere grado $<=1$. Se così fosse è facile determinare gli elementi dell'ideale in questione

[mistake89]

Sì esatto era ciò a cui pensavo anche io. Purtroppo l'ho sparata grossa prima (dicendo minore di 2) perchè è stata una giornata devastante

[serway2]

tranquillo, grazie a te sono riuscito ad arrivare alla soluzione dell'esercizio, per quanto riguarda l'altro ideale come hai detto tu utilizzando il primo teorema di omomorfismo si dimostra che è uguale al precedente, grazie mille.
Più tardi posterò un altro esercizio, spero che saprai aiutarmi anche in quello.
Giovedì vorrei provare a fare lo scritto di algebra 2 con la scala (visto che tu lo hai già dato algebra 2, magari potresti darmi qualche consiglio utile ^^)

[mistake89]

In bocca al lupo allora. A me Algebra2 è l'esame che è piaciuto di più (e pure LaScala uno dei professori che ho apprezzato maggiormente...)
Non è che abbia consigli particolari, l'unica cosa è che certe volte sembra che le tracce necessitino di un mucchio di calcoli, mentre spesso basta qualche piccola osservazione per ridurli notevolmente, anche se magari questa non è immediata. Quindi piuttosto che buttarti subito a fare i calcoli, cerca un approccio più "intelligente" -cosa che in fondo vale sempre-.