Esercizio sugli anelli
Sia K un campo e sia $\sigma$ : K ->K un endomorfismo, diciamo $\sigma$ ≠ id. Si consideri l'anello dei polinomi R nella variabile x. Si definisca su R una nuova moltiplicazione ponendo
$\sum_{i} a_i x^i$ * $\sum_{j} b_j x^j$ = $\sum_{i,j} a_i \sigma^i (b_j) x^(i+j)$
In altri termini, la moltiplicazione è definita dall'identità di commutazione (della variabile con gli scalari) x a = $\sigma$(a) x, per ogni a $in$ K.
a. Dimostrare che (R,+,*) è un anello unitario non-commutativo.
b. Provare che tale anello è un dominio.
Non ho capito come devo fare a risolvere questo esercizio, non è che qualcuno di voi me lo potrebbe spiegare?
L'unica cosa che mi è venuta in mente è che posso evitare di dimostrare che (R,+) è un gruppo abeliano, poichè si tratta dell'usuale somma di polinomi, quindi mi basta dimostrare che il prodotto così definito è associativo e che vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. Il problema è che quando tento di dimostrare queste proprietà faccio molta confusione con la sommatoria, spero di ricevere un aiuto, grazie a tutti
$\sum_{i} a_i x^i$ * $\sum_{j} b_j x^j$ = $\sum_{i,j} a_i \sigma^i (b_j) x^(i+j)$
In altri termini, la moltiplicazione è definita dall'identità di commutazione (della variabile con gli scalari) x a = $\sigma$(a) x, per ogni a $in$ K.
a. Dimostrare che (R,+,*) è un anello unitario non-commutativo.
b. Provare che tale anello è un dominio.
Non ho capito come devo fare a risolvere questo esercizio, non è che qualcuno di voi me lo potrebbe spiegare?
L'unica cosa che mi è venuta in mente è che posso evitare di dimostrare che (R,+) è un gruppo abeliano, poichè si tratta dell'usuale somma di polinomi, quindi mi basta dimostrare che il prodotto così definito è associativo e che vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. Il problema è che quando tento di dimostrare queste proprietà faccio molta confusione con la sommatoria, spero di ricevere un aiuto, grazie a tutti
Risposte
l'unica cosa che mi è venuta in mente fino ad adesso è come dimostrare che tale anello non è commutativo, ovvero prendo due polinomi p=a con a costante diversa da zero e q=x. Allora ho che x a=$\sigma$(a) x ≠ a x poichè $\sigma$ ≠ id. Per quanto riguarda il resto però non mi è venuto in mente niente, qualcuno sa come dimostrare gli altri punti?
Non converrebbe che tu scrivessi i tuoi conti così da controllarli?!
a quali conti ti riferisci? l'unico conto che mi è uscito per il momento è quello che riguarda la dimostrazione che l'anello non è commutativo, per quanto riguarda il resto non so proprio dove andare a parare, non so come dimostrare la proprietà associativa e distributiva, ciò che mi da problemi è la presenza di quella sommatoria e dell'endomorfismo, non so come gestirli.
Che $(R, +)$ sia un gruppo abeliano è ovvio. Si deve quindi solo dimostrare che la moltiplicazione da te definita è associativa, che esiste un unità per il prodotto e che valgono le proprietà distributive.
Per l'associatività devi mostrare che presi $3$ polinomi qualsiasi
$A = \sum_i a_i x^i$,
$B = \sum_j b_j x^j$,
$C = \sum_k c_k x^k$,
$A * (B * C) = (A * B) * C$.
Per farlo espliciti semplicemente i calcoli.
$A * (B * C) = (\sum_i a_i x^i) * (\sum_{j, k} b_j \sigma^j(c_k) x^{j + k}) =$
$= \sum_{i, j, k} a_i \sigma^i(b_j) \sigma^{i + j}(c_k) x^{i + j + k}$.
Mentre
$(A * B) * C = (\sum_{i,j} a_i \sigma^i(b_j) x^{i+j}) * (\sum_k c_k x^k) = $
$= \sum_{i,j,k} a_i \sigma^i(b_j) \sigma^{i + j}(c_k) x^{i + j + k}$.
Vale quindi l'associatività. Per le altre proprietà i calcoli sono simili.
Per l'associatività devi mostrare che presi $3$ polinomi qualsiasi
$A = \sum_i a_i x^i$,
$B = \sum_j b_j x^j$,
$C = \sum_k c_k x^k$,
$A * (B * C) = (A * B) * C$.
Per farlo espliciti semplicemente i calcoli.
$A * (B * C) = (\sum_i a_i x^i) * (\sum_{j, k} b_j \sigma^j(c_k) x^{j + k}) =$
$= \sum_{i, j, k} a_i \sigma^i(b_j) \sigma^{i + j}(c_k) x^{i + j + k}$.
Mentre
$(A * B) * C = (\sum_{i,j} a_i \sigma^i(b_j) x^{i+j}) * (\sum_k c_k x^k) = $
$= \sum_{i,j,k} a_i \sigma^i(b_j) \sigma^{i + j}(c_k) x^{i + j + k}$.
Vale quindi l'associatività. Per le altre proprietà i calcoli sono simili.
grazie mille dell'aiuto e così il punto a è sistemato, adesso manca la parte più delicata dell'esercizio, il punto b
Prova un po' a pensare a cosa deve fare un divisore di zero attraverso un morfismo di anelli e ricorda una proprietà importante dei morfismi di campi.
per dimostrare che l'anello è un dominio ho ragionato in questo modo, ditemi voi se va bene
$\sum_{i} a_i x^i$ * $\sum_{j} b_j x^j$ = 0 se e solo se $\sum_{i,j} a_i \sigma^i (b_j) x^(i+j)$=0 se e solo se per ogni i, j
$a_i \sigma^i (b_j) x^(i+j)$=0 se e solo se per ogni i,j $a_i \sigma^i (b_j)$=0 se e solo se per ogni i,j o $a_i$=0 oppure $\sigma^i (b_j)$=0.
Nel caso in cui $a_i$=0 per ogni i, abbiamo che $\sum_{i} a_i x^i$=0, mentre nel caso in cui $\sigma^i (b_j)$=0 per ogni i,j abbiamo necessariamente che
$b_j$=0 perchè se suppongo che $b_j$≠0 allora avrei che $\sigma^0 (b_j)$=$b_j$≠0 che è assurdo visto che tale proprietà vale per ogni i quindi anche per i=0. Quindi in definitiva $\sum_{i} a_i x^i$ * $\sum_{j} b_j x^j$ = 0 se e solo se o $\sum_{i} a_i x^i$=0 oppure $\sum_{j} b_j x^j$ = 0, cioè tale anello è un dominio.
$\sum_{i} a_i x^i$ * $\sum_{j} b_j x^j$ = 0 se e solo se $\sum_{i,j} a_i \sigma^i (b_j) x^(i+j)$=0 se e solo se per ogni i, j
$a_i \sigma^i (b_j) x^(i+j)$=0 se e solo se per ogni i,j $a_i \sigma^i (b_j)$=0 se e solo se per ogni i,j o $a_i$=0 oppure $\sigma^i (b_j)$=0.
Nel caso in cui $a_i$=0 per ogni i, abbiamo che $\sum_{i} a_i x^i$=0, mentre nel caso in cui $\sigma^i (b_j)$=0 per ogni i,j abbiamo necessariamente che
$b_j$=0 perchè se suppongo che $b_j$≠0 allora avrei che $\sigma^0 (b_j)$=$b_j$≠0 che è assurdo visto che tale proprietà vale per ogni i quindi anche per i=0. Quindi in definitiva $\sum_{i} a_i x^i$ * $\sum_{j} b_j x^j$ = 0 se e solo se o $\sum_{i} a_i x^i$=0 oppure $\sum_{j} b_j x^j$ = 0, cioè tale anello è un dominio.
La tua dimostrazione non è corretta. In particolare, non puoi affermare che se $\sum_{i, j} a_i \sigma^i(b_j) x^{i+j} = 0$ allora $a_i \sigma^i(b_j) = 0$ per ogni $i$ e $j$. Puoi solo affermare che $\sum_{i + j = d} a_i \sigma^i(b_j) = 0$ per ogni $d$. Ci sono altri errori anche nella parte successiva. Io avrei dimostrato il secondo punto nel seguente modo.
Supponiamo per assurdo che esistano un polinomio $A = \sum_i a_i x^i \ne 0$ di grado $m$ e un polinomio $B = \sum_j b_j x^j \ne 0$ di grado $n$ tali che $A * B = \sum_{i, j} a_i \sigma^i(b_j) x^{i + j} = 0$. Il coefficiente di grado $m + n$ del prodotto $A * B$ sarà uguale ad $a_m \sigma^m(b_n)$ per definizione. Voglio dimostrare che questo prodotto è sempre diverso da zero e che quindi non ci siano divisori dello zero. Ma $a_m$ e $b_n$ sono diversi da zero per ipotesi e quindi anche $\sigma^m(b_n) \ne 0$ perché il nucleo di un endomorfismo non nulli tra campi è ${0}$. Siccome $K$ è un campo, $a_m \sigma^m(b_n)$ deve quindi essere diverso da zero e R è quindi un dominio.
Supponiamo per assurdo che esistano un polinomio $A = \sum_i a_i x^i \ne 0$ di grado $m$ e un polinomio $B = \sum_j b_j x^j \ne 0$ di grado $n$ tali che $A * B = \sum_{i, j} a_i \sigma^i(b_j) x^{i + j} = 0$. Il coefficiente di grado $m + n$ del prodotto $A * B$ sarà uguale ad $a_m \sigma^m(b_n)$ per definizione. Voglio dimostrare che questo prodotto è sempre diverso da zero e che quindi non ci siano divisori dello zero. Ma $a_m$ e $b_n$ sono diversi da zero per ipotesi e quindi anche $\sigma^m(b_n) \ne 0$ perché il nucleo di un endomorfismo non nulli tra campi è ${0}$. Siccome $K$ è un campo, $a_m \sigma^m(b_n)$ deve quindi essere diverso da zero e R è quindi un dominio.
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