Esercizio sugli anelli

[Jhonny777]

Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio:
Sia A un anello commutativo e I$subseteq$ A un suo ideale. Si definisce radicale di I in A l'ideale
$sqrt{I}$={ a $in$ A | $exists$ n $in$ N t.c a^n $in$ I }
1) Dimostrare che I $subseteq$ $sqrt{I}$, e che $sqrt{sqrt{I}}$= $sqrt{I}$
2)Sia A= Z e I= 4Z, si calcoli esplicitamente $sqrt{I}$
Grazie in anticipo a chi mi rispondera

[Shocker1]

Qualche tuo tentativo?

[Jhonny777]

Sinceramente non ho le idee molto chiare . Se a $in$ $sqrt{I}$ vuol dire che I è generato dalla potenza di a. Cioe per ogni
a^n e b^m appartenenti ad I a e b appartiene a $sqrt{I}$. Ma non so proprio come procedere

[Shocker1]

"Jhonny777":Sinceramente non ho le idee molto chiare . Se a $in$ $sqrt{I}$ vuol dire che I è generato dalla potenza di a. Cioe per ogni
a^n e b^m appartenenti ad I a e b appartiene a $sqrt{I}$. Ma non so proprio come procedere

Questo è falso, nessuno ti dice che $I$ è generato dalla potenza di $a$, l'appartenenza di $a$ al radicale ti dice solo che una potenza di $a$ appartiene a $I$.

Comunque, rifletti sulla definizione di radicale. E' possibile che $I \subset \sqrt(I)$?

[Jhonny777]

Allora se a$in$ $sqrt{I} e a^n $in$ I non è possibile che I sia contenuto tutto in $sqrt{I}$ ma come lo dimostro tutto cio?

[Jhonny777]

Cioe I non puo essere contenuto in $sqrt{I}$ perché I contiene le potenze di a elevate alla n che non fanno parte di $sqrt{I}$ , ma poi?

[killing_buddha]

"Jhonny777":Cioe I non puo essere contenuto in $sqrt{I}$ perché I contiene le potenze di a elevate alla n che non fanno parte di $sqrt{I}$ , ma poi?

È esattamente il contrario, il radicale di I contiene I.

[Jhonny777]

Ma quindi non capisco come procedo col esercizio?

[killing_buddha]

"Jhonny777":Ma quindi non capisco come procedo col esercizio?

Usa la definizione, dimostra la tesi, e quando hai finito disegna un quadratino $\square$

Oppure, nota che è evidente che \(I\subset\sqrt{I}\) dato che $a^1=a\in I$ per ogni $a\in I$. Allo stesso modo è evidente che \(\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}\) per doppia inclusione: ti ho appena dimostrato che \(\sqrt{I}\subseteq \sqrt{\sqrt{I}}\), e per l'inclusione inversa... se esiste $n$ tale che $a^n\in\sqrt{I}$, esiste $m$ tale che $a^{mn}\in I$, quindi $a\in\sqrt{I}$.