Esercizio su una relazione d'ordine

[Julsa1]

Ciao a tutti, mi sto preparando per l'esame di matematica discreta..
Provando a svolgere un esercizio sulle relazioni d'ordine mi sono trovata in difficoltà, ho cercato altri esercizi online su cui basarmi ma non mi hanno aiutata molto.
Spero che qualcuno di voi mi possa aiutare..

L'esercizio è:
Si provi che
$R={(a,b) in A x A; EE n in NN, t.c. b=a^n}$
è una relazione d' ordine su $ZZ$* (elementi di Z diversi da 0).
Si dimostri che 2 non è in relazione con 3 e 3 non è in relazione con 2.
$R$ è una relazione d'ordine totale?

Per dimostrare che è una relazione d'ordine ho provato a fare così, ma penso che solo la riflessiva sia giusta:
- è riflessiva
$ a in ZZ$* $, EE n = 1 rArr a=a^1 rArr a=a$

- è antisimmetrica
$aRb, bRa rArr a=b$
$a,b in ZZ$* $, b=a^n, a=b^g, n=1, g=1 rArr a=b rArr b=a$
(Questa penso sia sbagliata, ho provato in altri modi ma non riuscivo ad andare avanti)

-è transitiva
$a,b,c in ZZ$* $, a^n=b, b^n=c rArr a^n =c$
$b=b^n$ ??
Ci sono stata parecchio su, ma non ho proprio capito come fare per dimostrare che è antisimmetrica e transitiva..

Poi, non ho capito come fare per dimostrare che 2 non è in relazione con 3 e 3 non è in relazione con 2, e neanche se R è d'ordine totale..
Aiuto ç_ç.. Grazie in anticipo.

(PS. scusatemi se non uso la scrittura delle formule alla perfezione, ma sono iscritta solo da qualche minuto e non so ancora bene tutto)

[hyoukarou]

\(R = \{(a, b) \subset \mathbb{N^{*}} \times \mathbb{N^{*}} \mid (\exists n \in \mathbb{N}) . b = a^n\} \)

Vogliamo dimostrare dunque che questa è una relazione di ordine(non totale ovviamente):

[*:6tcwujj6] Riflessiva
\((\forall a \in \mathbb{N^{*}}).(\exists n \in \mathbb{N}). aRa \iff a = a^n \iff n = 1\) e l'abbiamo dimostrata.[/*:m:6tcwujj6]
[*:6tcwujj6] Antisimmetrica
\((\forall a \in \mathbb{N^{*}}).(\forall b \in \mathbb{N^{*}}). aRb, bRa \rightarrow a = b\).
Si ha \(b = a^{n_0}\) e \(a = b^{n_1}\) da cui per sostituzione \(a = a^{n_0 \cdot n_1}\), \(n_0 \cdot n_1 = 1\), \(n_0 = n_1 = 1\) da cui \(a = b\).[/*:m:6tcwujj6]
[*:6tcwujj6] Transitiva
\((\forall a \in \mathbb{N^{*}}).(\forall b \in \mathbb{N^{*}}).(\forall c \in \mathbb{N^{*}}).aRb , bRc \rightarrow aRc\).
Sappiamo dunque che \(b = a^{n_0}\) e \(c = b^{n_1}\) da cui per sostituzione \(c = a^{(n_0 \cdot n_1)}\) e quindi \(aRc\) come volevasi dimostrare.[/*:m:6tcwujj6][/list:u:6tcwujj6]

Infine non è totale, perché ad esempio se \(a = 2\), \(b = 3\) si ha banalmente \(a \rlap{\backslash} R b\) e \(b \rlap{\backslash} R a\). Come si dimostra? Dicendo che \(2\) non divide \(3\) e \(3\) non divide \(2\).

[Julsa1]

Ti ringrazio tantissimo, sei stato gentilissimo!