Esercizio su un semigruppo commutativo
Salve, sto preparando l'esame di Algebra e matematica discreta... In un compito uscito il semestre scorso uno degli esercizi diceva:
Sia S={a,b,c}. Posto T= P(s) X P(s), considerare la struttura algebrica (T,*) dove l'appilcazione * è così definita:
(X,Y)*(Z,W)=(X differenza simmetrica Y, Y $nn$ W), $AA$ (X,Y), (Z,W) $in$ P(s)
(T,*) è un semigruppo commutativo. Esiste un elemento neutro?
In caso affermativo determinarlo e determinare gli elementi invertibili.
Determinare se possibile, l'inverso di ( {a,b},{a,b,c} ).
Veniamo alla risoluzione
(scusatemi in partenza per gli strafalcioni che farò e le bestialità da me riportate 
ma questo esame è la mia bestia nera l'ho preso controvoglia e non riesco a farmelo piacere, chiedo scusa a tutti quelli che invece l'adorano, l'invidio fortemente)
Essendo T il prodotto cartesiano tra due insieme delle parti l'elemento neutro dovrebbe essere $\phi$ (nn sapevo come fare l'elemento vuoto) poichè P(s) è così composto: { $\phi$, {a}, {b}, {c}, {ab}, {ac}, {bc}, {abc}, S}
Ponendo $\phi$ come elemento neutro adesso dovrei determinare gli elementi invertibili...
Un elemento invertibile è così definito: $EE$ b $in$ S : $a*b$ = $b*a$ = $\epsilon$ ( posto $\epsilon$ come elemento neutro)
Detto ciò non so come continuare...
Ringrazio anticipatamente tutti quelli che vorranno darmi una mano.
Sia S={a,b,c}. Posto T= P(s) X P(s), considerare la struttura algebrica (T,*) dove l'appilcazione * è così definita:
(X,Y)*(Z,W)=(X differenza simmetrica Y, Y $nn$ W), $AA$ (X,Y), (Z,W) $in$ P(s)
(T,*) è un semigruppo commutativo. Esiste un elemento neutro?
In caso affermativo determinarlo e determinare gli elementi invertibili.
Determinare se possibile, l'inverso di ( {a,b},{a,b,c} ).
Veniamo alla risoluzione
(scusatemi in partenza per gli strafalcioni che farò e le bestialità da me riportate ma questo esame è la mia bestia nera l'ho preso controvoglia e non riesco a farmelo piacere, chiedo scusa a tutti quelli che invece l'adorano, l'invidio fortemente)Essendo T il prodotto cartesiano tra due insieme delle parti l'elemento neutro dovrebbe essere $\phi$ (nn sapevo come fare l'elemento vuoto) poichè P(s) è così composto: { $\phi$, {a}, {b}, {c}, {ab}, {ac}, {bc}, {abc}, S}
Ponendo $\phi$ come elemento neutro adesso dovrei determinare gli elementi invertibili...
Un elemento invertibile è così definito: $EE$ b $in$ S : $a*b$ = $b*a$ = $\epsilon$ ( posto $\epsilon$ come elemento neutro)
Detto ciò non so come continuare...
Ringrazio anticipatamente tutti quelli che vorranno darmi una mano.
Risposte
Penso che ci sia un errore nel testo, forse hai sbagliato a copiare, ma se l'operazione è simmetrica allora
(X,Y)*(Z,W)=$(X Delta Z$, Y nn W)$, $AA (X,Y), (Z,W) in P(s)$ e non (X,Y)*(Z,W)=(X differenza simmetrica Y, Y $nn$ W),
Se ho ragione, per trovare l'elemento neutro devi porre $X Delta Z=X$ questo $AA X$, quindi $Z= Phi$
e $YuuW=Y$ questo $AA Y$ quindi $W= S$
(X,Y)*(Z,W)=$(X Delta Z$, Y nn W)$, $AA (X,Y), (Z,W) in P(s)$ e non (X,Y)*(Z,W)=(X differenza simmetrica Y, Y $nn$ W),
Se ho ragione, per trovare l'elemento neutro devi porre $X Delta Z=X$ questo $AA X$, quindi $Z= Phi$
e $YuuW=Y$ questo $AA Y$ quindi $W= S$
Grazie per la risposta.
Si hai ragione, ho riportato male il testo mentre scrivevo il messaggio è corretto ciò che hai scritto.
Quindi così ottengo sia $\phi$ che S. Quindi di qui come procedere? per il semigruppo composto da ( P(s), $nn$ ) l'elmento neutro è S mentre per ( P(s), $\Delta$ ) il neutro è $\phi$.
Come faccio a determinare gli elementi invertibili e ad invertire , se possibile, ( {a,b},{a,b,c} ).
Si hai ragione, ho riportato male il testo mentre scrivevo il messaggio è corretto ciò che hai scritto.
Quindi così ottengo sia $\phi$ che S. Quindi di qui come procedere? per il semigruppo composto da ( P(s), $nn$ ) l'elmento neutro è S mentre per ( P(s), $\Delta$ ) il neutro è $\phi$.
Come faccio a determinare gli elementi invertibili e ad invertire , se possibile, ( {a,b},{a,b,c} ).
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