Esercizio su un autmorfo di un gruppo abeliano

[Ricky-mat]

Salve a tutti.
Volevo proporvi questo esercizio:
"sia G un gruppo abeliano e u un suo autmorfismo di periodo 2. Provare che se G ha ordine pari, allora esiste un elemento a di G tale che u(a)=a."
La mia idea era stata quella di sfruttare il fatto che in G via sia almeno un elemento di periodo due e lavorare su quell'elemento. Ma purtroppo non riesco a venirne fuori. Potete darmi qualche idea?
Grazie per l'attenzione

[vict85]

Ci ho pensato poco ma direi che se \(G\) è pari allora \(X = G\setminus \{ 0\}\) è dispari. Siccome \(\displaystyle a\mapsto u(a)\mapsto a \) allora ogni orbita dell'insieme \(X\) ha ordine \(\displaystyle 2 \) o \(\displaystyle 1 \). È evidente che \(\displaystyle X \) non può essere unione disgiunta di insiemi di ordine \(\displaystyle 2 \) quindi ve ne deve essere almeno uno di ordine \(\displaystyle 1 \).

[Ricky-mat]

Grazie mille,
È lo stesso ragionamento cui sono pervenuto io dopo aver scritto il post!
Grazie per l'attenzione.