Esercizio su sottogruppo normale e laterali destri
Ciao a tutti, sto facendo un esercizio ma non so se è del tutto giusto quindi chiedo a voi.
(a) Grazie alla funzione di eulero sappiamo che il numero di elementi invertibili è 12.
Un elemento $a$ è invertibile se $MCD(a,n)=1$ con $n=21$.
Allora si ha $G={1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20}$
(b) Un sottogruppo H di un gruppo G è normale se $AA h in H, g in G$ si ha $g*h*g^-1 in H$, solo che questo procedimento mis sembra assai lungo dato che ci sono tanti elementi.
Altro modo, se $G$ è abeliano allora ogni sottogruppo è normale. E $G$ mi sembra che lo sia in quanto $a*b=b*a$ $AA a,b in G$ o sbaglio?
(c) I laterali destri sono quegli insiemi $Ha$, con $a in G$, tali che $Ha={h*a|h in H}$.
Dal teorema di Lagrange sappiamo che $[G]=|G|/|H|=12/6=2$ giusto? Quindi l'insieme di tutti i laterali destri (che da noi si indica con $G$/$H$) ha 2 elementi. Ora, non so bene se c'è qualche trucco per calcolare velocemente i vari laterali destri, io ho provato a mano e mi esce:
$H1=H$
$H2={2,4,8,16,22,32}={2,4,8,16,1,11}=H1$
$H4={4,8,16,32,44,64}={4,8,16,11,2,1}=H1$
$H5={5,10,20,40,55,80}={5,10,20,19,13,17}$
E poi mi sono fermato qua dato che ho trovato due laterali destri distinti e da lagrange so che $[G]=2$.
Quindi direi che $G$/$H={H1,H5}$, cosa ne pensate? C'è qualche trucco per calcolare velocemente i laterali?
Sia $G = (ZZ$/$21ZZ$*$, ·)$ il gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di $ZZ$/$21ZZ$.
(a) Determininare tutti gli elementi di $G$.
(b) Dimostrare che il sottoinsieme $H = {1, 2, 4, 8, 16, 11} ⊂ G$ è un sottogruppo normale.
(c) Determinare $G$/$H$ a meno di isomorfismo.
(a) Grazie alla funzione di eulero sappiamo che il numero di elementi invertibili è 12.
Un elemento $a$ è invertibile se $MCD(a,n)=1$ con $n=21$.
Allora si ha $G={1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20}$
(b) Un sottogruppo H di un gruppo G è normale se $AA h in H, g in G$ si ha $g*h*g^-1 in H$, solo che questo procedimento mis sembra assai lungo dato che ci sono tanti elementi.
Altro modo, se $G$ è abeliano allora ogni sottogruppo è normale. E $G$ mi sembra che lo sia in quanto $a*b=b*a$ $AA a,b in G$ o sbaglio?
(c) I laterali destri sono quegli insiemi $Ha$, con $a in G$, tali che $Ha={h*a|h in H}$.
Dal teorema di Lagrange sappiamo che $[G]=|G|/|H|=12/6=2$ giusto? Quindi l'insieme di tutti i laterali destri (che da noi si indica con $G$/$H$) ha 2 elementi. Ora, non so bene se c'è qualche trucco per calcolare velocemente i vari laterali destri, io ho provato a mano e mi esce:
$H1=H$
$H2={2,4,8,16,22,32}={2,4,8,16,1,11}=H1$
$H4={4,8,16,32,44,64}={4,8,16,11,2,1}=H1$
$H5={5,10,20,40,55,80}={5,10,20,19,13,17}$
E poi mi sono fermato qua dato che ho trovato due laterali destri distinti e da lagrange so che $[G]=2$.
Quindi direi che $G$/$H={H1,H5}$, cosa ne pensate? C'è qualche trucco per calcolare velocemente i laterali?
Risposte
Ciao 
1)Corretto
2)Corretto, dato che $G$ è abeliano allora ogni suo sottogruppo è normale.
3)Bene, hai scoperto che $H$ ha indice $2$, quindi $|G//H| = 2$, ora: dato che $H$ è normale sai due cose:
1) $H$ è il ker di un omomorfismo $f: G \to G'$
2)$G//H$ è un gruppo di cardinalità $2$
Dato che c'è un solo(in realtà due, ma sono isomorfi) gruppo di cardinalità $2$, puoi concludere che $G//H$ è isomorfo a $\mathbb{Z_2}$.
1)Corretto
2)Corretto, dato che $G$ è abeliano allora ogni suo sottogruppo è normale.
3)Bene, hai scoperto che $H$ ha indice $2$, quindi $|G//H| = 2$, ora: dato che $H$ è normale sai due cose:
1) $H$ è il ker di un omomorfismo $f: G \to G'$
2)$G//H$ è un gruppo di cardinalità $2$
Dato che c'è un solo(in realtà due, ma sono isomorfi) gruppo di cardinalità $2$, puoi concludere che $G//H$ è isomorfo a $\mathbb{Z_2}$.
Grazie della risposta Shocker!
Riguardo al punto (c) dalla teoria si ha che se $H$ è sottogruppo normale di $G$ allora $H$ è il nucleo dell'omomorfismo suriettivo (epimorfismo canonico) $V: G rarr G \/H, a rarr Ha$, intendevi questo?
Ma allora $G \/ H$, essendo isomorfo a $Z \/ 2Z$, sarebbe uguale a ${0, 1}$ ?
Riguardo al punto (c) dalla teoria si ha che se $H$ è sottogruppo normale di $G$ allora $H$ è il nucleo dell'omomorfismo suriettivo (epimorfismo canonico) $V: G rarr G \/H, a rarr Ha$, intendevi questo?
Ma allora $G \/ H$, essendo isomorfo a $Z \/ 2Z$, sarebbe uguale a ${0, 1}$ ?
"Rabelais":
Grazie della risposta Shocker!
Riguardo al punto (c) dalla teoria si ha che se $H$ è sottogruppo normale di $G$ allora $H$ è il nucleo dell'omomorfismo suriettivo (epimorfismo canonico) $V: G rarr G \/H, a rarr Ha$, intendevi questo?
Ma allora $G \/ H$, essendo isomorfo a $Z \/ 2Z$, sarebbe uguale a ${0, 1}$ ?
Ciao, sì mi riferivo a quello! Infatti già sai che i Ker di omomorfismo sono sottogruppi normali, il risultato che hai citato fornisce l'altra freccia: un sottogruppo normale è un nucleo di un omomorfismo. Detto in altri termini: i sottogruppi normali di un gruppo $G$ sono tutti e soli i ker di omomorfismi $f$ da $G$ a un gruppo $G'$.
Ho provato a costruire un omomorfismo da $G$ in $Z_2$ che abbia nucleo $H$: nota che $G = <2, 5>$(cioè è generato da $2$ e $5$) quindi $f:G \to \mathbb{Z_2}$ è completamente definito una volta stabilita l'immagine di $2$ e $5$, dato che $H = <2>$ allora pongo $f(2) = 0$ e $f(5) = 1$, una breve verifica mostra che $Kerf= H$ e $f$ è surgettivo, dunque per il primo teorema di omomorfismo ho che $G//H ~= Im(f) = \mathbb{Z_2}$.
No, solo isomorfo non uguale.
Ah perfetto grazie ancora della disponibilità!
Anche se in realtà mi sembra che 2 e 5 non bastino a generare tutto G in quanto essi non generano gli elementi 10, 13 e 19, che sono generati invece da 10. Quindi direi che G = <2, 5, 10>.
Anche se in realtà mi sembra che 2 e 5 non bastino a generare tutto G in quanto essi non generano gli elementi 10, 13 e 19, che sono generati invece da 10. Quindi direi che G = <2, 5, 10>.
"Rabelais":
Ah perfetto grazie ancora della disponibilità!
Anche se in realtà mi sembra che 2 e 5 non bastino a generare tutto G in quanto essi non generano gli elementi 10, 13 e 19, che sono generati invece da 10. Quindi direi che G = <2, 5, 10>.
Ciao,
Certo ma nota che $10 = 2*5$ e quindi $10 \in <2, 5>$.
Scusa se insisto/non ci arrivo, ma ho alcune difficoltà con questa materia 
Dalla teoria so che, dati $(G,*)$ e un elemento $a in G$, l'insieme $ ={a^n | n in Z}$ è un sottogruppo di $G$ detto sott. generato da $a$.
Nel nostro caso avevo pensato che $<2,5> ={2^0,5^0,2^1,5^1,...}$ quindi nel mio insieme non era presente l'elemento $10$, sbaglio quindi ad applicare la definizione?
Un ultimo chiarimento, se mi chiede "Determinare X a meno di isomorfismo" (con X un gruppo generico) significa che devo specificare quali sono tutti gli elementi di X oppure che mi basta dire a quale gruppo è isomorfo?
Dalla teoria so che, dati $(G,*)$ e un elemento $a in G$, l'insieme $ ={a^n | n in Z}$ è un sottogruppo di $G$ detto sott. generato da $a$.
Nel nostro caso avevo pensato che $<2,5> ={2^0,5^0,2^1,5^1,...}$ quindi nel mio insieme non era presente l'elemento $10$, sbaglio quindi ad applicare la definizione?
Un ultimo chiarimento, se mi chiede "Determinare X a meno di isomorfismo" (con X un gruppo generico) significa che devo specificare quali sono tutti gli elementi di X oppure che mi basta dire a quale gruppo è isomorfo?
"Rabelais":
Scusa se insisto/non ci arrivo, ma ho alcune difficoltà con questa materia
Dalla teoria so che, dati $(G,*)$ e un elemento $a in G$, l'insieme $ ={a^n | n in Z}$ è un sottogruppo di $G$ detto sott. generato da $a$.
Nel nostro caso avevo pensato che $<2,5> ={2^0,5^0,2^1,5^1,...}$ quindi nel mio insieme non era presente l'elemento $10$, sbaglio quindi ad applicare la definizione?
Un ultimo chiarimento, se mi chiede "Determinare X a meno di isomorfismo" (con X un gruppo generico) significa che devo specificare quali sono tutti gli elementi di X oppure che mi basta dire a quale gruppo è isomorfo?
Ciao,
Sì, quella è la definizione di sottogruppo generato da un singolo elemento.
La definizione di sottogruppo generato da un insieme è la seguente: sia $G$ un gruppo e $S \subset G$, chiamiamo sottogruppo generato da $S$ il più piccolo sottogruppo di $G$ che contiene $S$(e di solito si indica con $
Se $S = {a}$ ha un solo elemento allora viene fuori quello che hai scritto tu, ossia è il gruppo delle potenze di $a$.
Ma se $S$ ha cardinalità finita e maggiore di $1$ le cose cambiano.
Provo a spiegartelo in modo informale, magari rende di più: sia $(G, *)$ un gruppo e sia $H < G$ un sottogruppo generato da un insieme $S = {s_1, ..., s_n}$, cosa vuol dire? Beh sappiamo che $H$ è un sottogruppo che contiene $S$, quindi deve contenere, come minimo, anche tutti gli inversi di $S$, chiamiamo tale insieme $S^{-1} = {s_1^{-1}, ..., s_n^{-1}}$. Tuttavia contenere tutti gli elementi di $S$ e i loro inversi non basta: il sottogruppo, per essere tale, deve anche essere chiuso rispetto all'operazione $*$... di conseguenza in $H$ ci sono anche tutti i prodotti possibili e immaginabili fra gli elementi di $S$ e gli elementi di $S^{-1}$. Traducendo in matematichese: sia $T = S \uu S^{-1}$ allora $H = {t_1 * ... *t_h | t_i \in T$ e $h \in \mathbb{N}}$(quest'ultima uguaglianza ha bisogno di una dimostrazione).
Ah non sapevo di quella definizione!
Allora nel nostro caso $S={2,5}$ e $S^-1={11,17}$ dunque $T={2,5,11,17}$ e seguendo la tua definizione si ha che $ = {t_1, t_2,t_3,t_4,t_1*t_2,t_1*t_3,t_1*t_4,t_2*t_3,t_2*t_4,t_3*t_4,t_1*t_2*t_3,t_1*t_2*t_4,t_1*t_3*t_4,t_2*t_3*t_4,t_1*t_2*t_3*t_4}$
deve coincidere con G o comunque essere il più piccolo sottogruppo a contenere G ?
Allora nel nostro caso $S={2,5}$ e $S^-1={11,17}$ dunque $T={2,5,11,17}$ e seguendo la tua definizione si ha che $
deve coincidere con G o comunque essere il più piccolo sottogruppo a contenere G ?
"Rabelais":
Ah non sapevo di quella definizione!
Allora nel nostro caso $S={2,5}$ e $S^-1={11,17}$ dunque $T={2,5,11,17}$ e seguendo la tua definizione si ha che $= {t_1, t_2,t_3,t_4,t_1*t_2,t_1*t_3,t_1*t_4,t_2*t_3,t_2*t_4,t_3*t_4,t_1*t_2*t_3,t_1*t_2*t_4,t_1*t_3*t_4,t_2*t_3*t_4,t_1*t_2*t_3*t_4}$
deve coincidere con G o comunque essere il più piccolo sottogruppo a contenere G ?
Ci sono anche tutte le potenze di $2$ e $5$(che inglobano quelle di $11$ e $17$, dato che sono i loro inversi) e tutte le potenze del tipo $2^n * 5^m$. Comunque sì e sì.
Ah ok, e i coeff. $n,m$ sono $<= 4$ dato che 4 sono gli elementi di $T$ ?
"Rabelais":
Ah ok, e i coeff. $n,m$ sono $<= 4$ dato che 4 sono gli elementi di $T$ ?
No: $n, m \in \mathbb{Z}$.
Insomma, se un sottogruppo è generato da un insieme allora deve contenere tutti gli elementi dell'insieme, tutti gli inversi degli elementi di tale insieme e tutti i loro possibili prodotti perché altrimenti non sarebbe un gruppo.
Se hai che $G = <2, 5>$(li consideriamo modulo $21$) allora $G = {1, 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 5, 5^3, 5^5, 2*5, 2^3*5^3, 2^5*5^5}$.
Non ho scritto TUTTE le potenze perché molte si ripetono, per esempio $2^2 = 5^2$, $5^4 = 2^4$, $10^4 = 2^2$.
Ok ora è chiaro, grazie della pazienza.
Di nulla 
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