Esercizio su Sottogruppo
Salve ragazzi sto cercando di risolvere il seguente esercizio
Dato il gruppo $GL(2, \mathbb{Q})$ delle matrici invertibili su $\mathbb{Q}$, si consideri il sottoinsieme $A$ delle matrici del tipo:
\begin{pmatrix} 1-c & -c \\ c & 1+c \end{pmatrix} con $ c \in \mathbb{Z}$
Si provi che $A$ è un sottogruppo e si determini la sua cardinalità.
La verifica che si tratta di un sottogruppo son riuscito a farla agilmente, il dubbio è sulla cardinalità. Qualche imbeccata su come procedere?
Dato il gruppo $GL(2, \mathbb{Q})$ delle matrici invertibili su $\mathbb{Q}$, si consideri il sottoinsieme $A$ delle matrici del tipo:
\begin{pmatrix} 1-c & -c \\ c & 1+c \end{pmatrix} con $ c \in \mathbb{Z}$
Si provi che $A$ è un sottogruppo e si determini la sua cardinalità.
La verifica che si tratta di un sottogruppo son riuscito a farla agilmente, il dubbio è sulla cardinalità. Qualche imbeccata su come procedere?
Risposte
A occhio e da cellulare: stai prendendo le matrici della forma
\[
c\begin{pmatrix}-1 & -1\\1 & 1\end{pmatrix} + 1_2
\] al variare di \( c\in \mathbb Z \), dove \(1_2\) è la matrice identica. Allora hai un'iniettiva e un omomorfismo \( \mathbb Z \to \mathrm{GL}(2,\mathbb Q) \).
\[
c\begin{pmatrix}-1 & -1\\1 & 1\end{pmatrix} + 1_2
\] al variare di \( c\in \mathbb Z \), dove \(1_2\) è la matrice identica. Allora hai un'iniettiva e un omomorfismo \( \mathbb Z \to \mathrm{GL}(2,\mathbb Q) \).
La funzione \(\mathcal{A}\colon\Bbb Z\to A\), definita da \(c\mapsto \mathcal{A}(c):=\begin{pmatrix} 1-c & -c \\ c & 1+c \end{pmatrix}\), è iniettiva (infatti: \(\mathcal{A}(c_1)=\mathcal{A}(c_2)\Longrightarrow c_1=c_2\)) e suriettiva per costruzione. Pertanto, \(card(A)=\aleph_0\).
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