Esercizio su sottogruppi caratteristici.

[albertocaccavale94]

Ho il gruppo $ G=D_3xxZ_3 $
Devo mostrare che $ D_3 $ è caratteristico in $ G $.
(Sappiamo che $ Z_3 $ lo è in quanto isomorfo a $ Z(G) $.)
E poi vorrei sapere se è possibile generalizzare la cosa, quindi preso un qualsiasi gruppo $ G $ tale che $ G=HxxK $, con $ H $ caratteristico in $ G $, allora $ K $ è caratteristico in $ G $.

[Studente Anonimo]

Tutti gli elementi di ordine [tex]2[/tex] sono contenuti in [tex]D_3[/tex] e lo generano, quindi siccome gli automorfismi preservano gli ordini degli elementi, e anzi inducono una permutazione degli elementi di un fissato ordine, [tex]D_3[/tex] è caratteristico. Per la cronaca [tex]\text{Aut}(D_3 \times Z_3) \cong \text{Aut}(D_3) \times \text{Aut}(Z_3) \cong D_3 \times Z_2[/tex].

Quanto alla generalizzazione, no, non è vera prendi [tex]G = D_3 \times Z_2[/tex]. Scrivo

[tex]D_3 = S_3 = \{1,(12),(13),(23),(123),(132)\}[/tex] e [tex]Z_2 = \langle \epsilon \rangle[/tex].

Allora l'automorfismo [tex]\tau[/tex] che manda [tex](123) \to (123)[/tex], [tex](12) \to (12)\epsilon[/tex] e [tex]\epsilon \to \epsilon[/tex] (si vede che queste assegnazioni definiscono un automorfismo) manda [tex]D_3 \times \{1\}[/tex] in un sottogruppo che contiene [tex](12)\epsilon[/tex] e quindi non è [tex]D_3 \times \{1\}[/tex].

Per la cronaca [tex]\text{Aut}(D_3 \times Z_2) \cong D_3 \times Z_2[/tex] (il [tex]D_3[/tex] sono gli automorfismi interni, il [tex]Z_2[/tex] è generato da [tex]\tau[/tex]).