Esercizio su somma diretta

[Lavinia Volpe]

Sia $ V=R^(2) $ e sia $ W$ il sottospazio generato da $(2,1)$.Sia $U$ il sottospazio generato da $(0,1)$. Dimostrare che $V$ è somma diretta di $U$ e $W$. Se poi $U'$ è il sottospazio generato da $(1,1)$, dimostrare che $V$ è anche somma diretta di $W$ $U'$

potreste aiutarmi per favore?

[Lavinia Volpe]

non ho neanche capito cosa intende per somma diretta

[feddy]

Beh, per capirlo è sufficiente guardare la definizione. In soldoni, $U$ e $W$ sottospazi di $V$ si dicono in somma diretta e si indica $U oplusW$ se l'intersezione $U cap W=vec0$ e $U+W=V$.

Comincia a vedere chi è l'intersezione tra $W$ e $U$: basta prendere un generico vettore che sta in $W$ e uno che sta in $U$ e vedere cosa succede se lui sta nell'intersezione, o meglio, chi è.

P.S: La sezione è errata, avresti dovuto postare in Algebra Lineare

[Lavinia Volpe]

vedo che l'intersezione è vuota perché il vettore che genera W è diverso dal vettore che genera U e perché per qualsiasi scalare per cui li si moltiplichi saranno diversi, in quanto hanno una componente uguale e una diversa

vedo che ciascun vettore di V è somma del vettore che genera W e del vettore che genera U opportunamente scalati così
$ y (a, b) = x1 (2,1) + x2(0,1) $
$ (a,b)= (x1 (2,1) + x2 (0,1) )/y $
non so come sommare (2,1) e (0,1), sempre che serva, perché solo dopo verrà definita l'analogia tra somma diretto e prodotto diretto

Comunque sì, pensavo di averla posta in quella sezione. Si può spostare?

[feddy]

"Lavinia Volpe":vedo che [strike]l'intersezione è vuota[/strike] perché il vettore che genera W è diverso dal vettore che genera U e perché per qualsiasi scalare per cui li si moltiplichi saranno diversi, in quanto hanno una componente uguale e una diversa

Questo è un grave errore concettuale. L'intersezione non è l'insieme vuoto, bensì il vettore nullo $vec 0$. Il tuo modo operativo però in questo caso funziona. In generale potresti non essere così fortunata. Vedi qui, qui e qui.

E' evidente che ${(2,1),(0,1)}$ sono linearmente indipendenti e pertanto formano una base di $mathbb(R^2)$. Pertanto $U+W=RR^2$. Quindi $U oplus W=V$.


Passiamo alla seconda richiesta:
Anche qui si vede subito che ${(2,1),(1,1)}$ sono linearmente indipendenti, per cui formano una base di $V$. Segue immediatamente che la loro intersezione è ancora il vettore nullo. Anche in questo caso la somma è diretta. Fine.

"Lavinia Volpe":vedo che ciascun vettore di V è somma del vettore che genera W e del vettore che genera U opportunamente scalati così
y(a,b)=x1(2,1)+x2(0,1)
(a,b)=x1(2,1)+x2(0,1)y

Stai cercando di dimostrare che ${(2,1),(1,1)}$ sono un sistema di generatori di $V$, ma così allunghi (e ti complichi) solo il procedimento. Una volta che hai trovato che sono lin. indipendenti, visto che siamo in $RR^2$, puoi già dire che sono una base.