Esercizio su sistema lineare
Ciao a tutti.
Mi dispiace tantissimo dovermi rivolgere a voi, ma purtroppo sono giorni che cerco di capire come andare avanti con questo esercizio, spero capiate.
Ho il seguente sistema e voglio trovarne le soluzioni. So che innanzitutto devo ricavare il valore di $a$ e poi con il teorema di Cramer mi ricavo $x$, $y$ e $z$, giusto?
Ok, allora questo è il mio sistema:
$\{(x-ay-az=0),(2x +3az = 1),(x+y+4z= a),(5x -3y = 1):}$
Allora, innazitutto ho fatto la matrice incompleta:
$((1,-a,-a),(2,0,3a),(1,1,4),(5,-3,0))$
E poi quella completa:
$((1,-a,-a,0),(2,0,3a,1),(1,1,4,a),(5,-3,0,1))$
A questo punto devo trovare il rango delle due matrici e vedere se sono uguali.
Quindi calcolo il determinante della matrice incompleta:
$|(1,-a,-a),(2,0,3a),(1,1,4),(5,-3,0)|$ che mi viene $-3a^2 + 3a$
Ora faccio $a(-3a+3)= 0 $
I risultati sono $a=0$ e $a=-3/-3=1$
Questo è il punto in cui non so più come andare avanti. Da questi risultati io deduco che il determinante sia diverso da 0 quindi il rango dev'essere 3, ma non so se questo ragionamento sia giusto. Inoltre, per quanto riguarda la matrice completa, per trovare il suo determinante devo ridurla a 3x3 o posso lasciarla anche 4x4, visto che comunque è già una matrice quadrata? Per favore mi spiegate dettagliatamente tutti i passaggi? Grazie mille!!!
Mi dispiace tantissimo dovermi rivolgere a voi, ma purtroppo sono giorni che cerco di capire come andare avanti con questo esercizio, spero capiate.
Ho il seguente sistema e voglio trovarne le soluzioni. So che innanzitutto devo ricavare il valore di $a$ e poi con il teorema di Cramer mi ricavo $x$, $y$ e $z$, giusto?
Ok, allora questo è il mio sistema:
$\{(x-ay-az=0),(2x +3az = 1),(x+y+4z= a),(5x -3y = 1):}$
Allora, innazitutto ho fatto la matrice incompleta:
$((1,-a,-a),(2,0,3a),(1,1,4),(5,-3,0))$
E poi quella completa:
$((1,-a,-a,0),(2,0,3a,1),(1,1,4,a),(5,-3,0,1))$
A questo punto devo trovare il rango delle due matrici e vedere se sono uguali.
Quindi calcolo il determinante della matrice incompleta:
$|(1,-a,-a),(2,0,3a),(1,1,4),(5,-3,0)|$ che mi viene $-3a^2 + 3a$
Ora faccio $a(-3a+3)= 0 $
I risultati sono $a=0$ e $a=-3/-3=1$
Questo è il punto in cui non so più come andare avanti. Da questi risultati io deduco che il determinante sia diverso da 0 quindi il rango dev'essere 3, ma non so se questo ragionamento sia giusto. Inoltre, per quanto riguarda la matrice completa, per trovare il suo determinante devo ridurla a 3x3 o posso lasciarla anche 4x4, visto che comunque è già una matrice quadrata? Per favore mi spiegate dettagliatamente tutti i passaggi? Grazie mille!!!
Risposte
prima di tutto,la matrice incompleta non è quadrata e quindi non puoi calcolarne il determinante
consideriamo la sottomatrice $ ( ( 1 , 4 ),( -3 , 0 ) ) $ che ha determinante diverso da zero (quindi il rango della matrice incompleta è almeno $2$)
la sottomatrice si può orlare in due modi : se non ho sbagliato i calcoli,in entrambi i casi il determinante si annulla per $a=1$;quindi, per $a ne 1$ il rango della matrice incompleta è $3$
a questo punto,
1) analizza il rango della matrice completa per $a=1$
2) per $a ne 1$ ,il sistema sarà compatibile solo per quei valori di $a$ che annullano il determinante della matrice completa
consideriamo la sottomatrice $ ( ( 1 , 4 ),( -3 , 0 ) ) $ che ha determinante diverso da zero (quindi il rango della matrice incompleta è almeno $2$)
la sottomatrice si può orlare in due modi : se non ho sbagliato i calcoli,in entrambi i casi il determinante si annulla per $a=1$;quindi, per $a ne 1$ il rango della matrice incompleta è $3$
a questo punto,
1) analizza il rango della matrice completa per $a=1$
2) per $a ne 1$ ,il sistema sarà compatibile solo per quei valori di $a$ che annullano il determinante della matrice completa
Sì, scusa, ho sbagliato a scrivere ma per calcolare il determinante della matrice incompleta ho tolto l'ultima riga e mi è venuto:
$|(1,-a,-a),(2,0,3a),(1,1,4)| = -3a^2+3a$ e poi $a=0$ e $a=-3/-3=1$
Grazie per la risposta ma quello che non capisco è: perché devo ridurre la matrice a 2x2, mentre a 3x3 non va bene?
$|(1,-a,-a),(2,0,3a),(1,1,4)| = -3a^2+3a$ e poi $a=0$ e $a=-3/-3=1$
Grazie per la risposta ma quello che non capisco è: perché devo ridurre la matrice a 2x2, mentre a 3x3 non va bene?
la tecnica è quella di partire da una matrice che ha determinante diverso da zero,poi la si orla in tutti i modi possibili
nel nostro caso,si parte dalla certezza che esiste una $2X2$ con determinante diverso da $0$(la certezza è dovuta al fatto che non compare in essa il parametro $a$)
nel nostro caso,si parte dalla certezza che esiste una $2X2$ con determinante diverso da $0$(la certezza è dovuta al fatto che non compare in essa il parametro $a$)
Quindi devo sempre cominciare dalla sottomatrice di rango minore?
Se è così perché non posso partire da una sottomatrice 1x1?
Se è così perché non posso partire da una sottomatrice 1x1?
vabbè,ma $1X1$ è banale 
io sono partito dalla $2X2$ perchè ne ho individuata subito una con determinante diverso da zero
io sono partito dalla $2X2$ perchè ne ho individuata subito una con determinante diverso da zero
AH, ho capito, grazie mille!
E poi volevo chiedere un'altra cosa. Per calcolare il rango della matrice completa, dato che è già una matrice quadrata, devo ridurla?
E poi volevo chiedere un'altra cosa. Per calcolare il rango della matrice completa, dato che è già una matrice quadrata, devo ridurla?
la matrice completa è quadrata,quindi ,per quei valori di $a$ per i quali il determinante è diverso da zero,il suo rango è $4$
per quei valori di $a$ per i quali almeno una $3X3$ ha determinante diverso da zero,il suo rango è $3$
tornando all'esercizio,nel caso $a=1$ vedi se riesci a trovare una $3X3$ con determinante diverso da zero
per quei valori di $a$ per i quali almeno una $3X3$ ha determinante diverso da zero,il suo rango è $3$
tornando all'esercizio,nel caso $a=1$ vedi se riesci a trovare una $3X3$ con determinante diverso da zero
Se mi viene sempre 0 significa che il sistema è impossibile?
allora,per $a=1$,al primo tentativo ho trovato un minore di ordine $3$ diverso da $0$
quindi,per $a=1$ il rango della matrice incompleta è minore di quello della matrice completa e quindi il sistema è impossibile
adesso,nel caso $a ne 1$ determina per quali valori di $a$il determinante della matrice completa vale $0$
per questi valori il sistema è possibile,altrimenti il rango della incompleta è minore di quello della completa ed il sistema è impossibile
quindi,per $a=1$ il rango della matrice incompleta è minore di quello della matrice completa e quindi il sistema è impossibile
adesso,nel caso $a ne 1$ determina per quali valori di $a$il determinante della matrice completa vale $0$
per questi valori il sistema è possibile,altrimenti il rango della incompleta è minore di quello della completa ed il sistema è impossibile
Io ho provato i 4 casi possibili con la matrice 3x3:
1) $((1,-1,-1),(2,0,3),(1,1,4)) = -3 -2 +8 -3 = 0$
2) $((2,0,3),(1,1,4),(5,-3,0))=-9-15+24= 0$
3) $((0,3,1),(1,4,1),(-3,0,1))=-9+12-3=0$
4) $((-1,-1,0),(0,3,1),(1,4,1))=-3-1+4=0$
Nessun risultato mi viene diverso da zero e non riesco a capire dove sto sbagliando
Comunque anche se mi venisse un risultato diverso da zero significherebbe che sia la matrice completa che quella incompleta hanno lo stesso rango, cioè 3. Perché invece il rango della matrice incompleta è minore?
Un'altra cosa che non ho capito è come faccio a determinare $a≠1$ se il determinante della matrice completa (4x4) mi viene 0?
1) $((1,-1,-1),(2,0,3),(1,1,4)) = -3 -2 +8 -3 = 0$
2) $((2,0,3),(1,1,4),(5,-3,0))=-9-15+24= 0$
3) $((0,3,1),(1,4,1),(-3,0,1))=-9+12-3=0$
4) $((-1,-1,0),(0,3,1),(1,4,1))=-3-1+4=0$
Nessun risultato mi viene diverso da zero e non riesco a capire dove sto sbagliando
Comunque anche se mi venisse un risultato diverso da zero significherebbe che sia la matrice completa che quella incompleta hanno lo stesso rango, cioè 3. Perché invece il rango della matrice incompleta è minore?
Un'altra cosa che non ho capito è come faccio a determinare $a≠1$ se il determinante della matrice completa (4x4) mi viene 0?
sì,hai ragione ,avevo sbagliato un segno nel minore che ho considerato
allora,considera tutti gli orlati di $ ( ( 4 , 1 ),( 0 , 1 ) ) $
se effettivamente avranno tutti determinante $0$ (lascio a te i calcoli) allora la matrice completa e incompleta avranno lo stesso rango($2$) e quindi il sistema sarà possibile
adesso,mettiamoci nel caso $ane 1$
il determinante della completa è funzione di $a$
vedi per quali valori di $a$ ,diversi da $1$ ,si annulla
solo per questi altri valori il sistema sarà compatibile
allora,considera tutti gli orlati di $ ( ( 4 , 1 ),( 0 , 1 ) ) $
se effettivamente avranno tutti determinante $0$ (lascio a te i calcoli) allora la matrice completa e incompleta avranno lo stesso rango($2$) e quindi il sistema sarà possibile
adesso,mettiamoci nel caso $ane 1$
il determinante della completa è funzione di $a$
vedi per quali valori di $a$ ,diversi da $1$ ,si annulla
solo per questi altri valori il sistema sarà compatibile
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