Esercizio su Relazioni 1.3.4 + Chiarimento su immagine
Rieccomi qui dopo taanto tempo 
1.3.4
Posto $G = {(x,y) \in \mathbb N^2 : 3x = y}$, provare che la corrispondenza $R = (\mathbb N^2, G)$ è un'applicazione di $\mathbb N$ in se.
Bene, questa corrispondeza è un'applicazione ma non riesco a capire come scriverlo formalmente. Dire solo "Si è una funzione" mi sembra un po' troppo semplicistico. Potreste indicarmi una versione formalizzata della risposta?
Veniamo al quesito dell'immagine. Secondo voi quale delle due definizioni è formalmente piu' esatta:
Siano $f : S -> T$ un'applicazione ed $X \subseteq S$, l'immagine di $X$ mediante $f$ è il sottoinsieme di $T$ così definito:
1) $f(X) = {f(x) : x \in X}$
2) $f(X) = {y \in T : \exists x \in X : f(x) = y}$
Grazie
1.3.4
Posto $G = {(x,y) \in \mathbb N^2 : 3x = y}$, provare che la corrispondenza $R = (\mathbb N^2, G)$ è un'applicazione di $\mathbb N$ in se.
Bene, questa corrispondeza è un'applicazione ma non riesco a capire come scriverlo formalmente. Dire solo "Si è una funzione" mi sembra un po' troppo semplicistico. Potreste indicarmi una versione formalizzata della risposta?
Veniamo al quesito dell'immagine. Secondo voi quale delle due definizioni è formalmente piu' esatta:
Siano $f : S -> T$ un'applicazione ed $X \subseteq S$, l'immagine di $X$ mediante $f$ è il sottoinsieme di $T$ così definito:
1) $f(X) = {f(x) : x \in X}$
2) $f(X) = {y \in T : \exists x \in X : f(x) = y}$
Grazie
Risposte
Per quanto riguarda il quesito sulla immagine, la seconda definizione è più formale.
Per dimostrare che si tratta di una applicazione devi mostrare che se $x_1=x_2$ e $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ stanno in $G$, allora $y_1=y_2$.
Grazie fields
Per Luca: vediamo se ho capito, per il mio esercizio quindi devo avere un'implicazione di questo tipo e dimostrarla:
$3x = 3x'$ con $(3x, y) \in G$ e $(3x', y') \in G \Rightarrow y = y'$ giusto? (quindi per aiutarmi nella dimostrazione posso usare il Lemma sull'uguaglianza di coppie?)
Per Luca: vediamo se ho capito, per il mio esercizio quindi devo avere un'implicazione di questo tipo e dimostrarla:
$3x = 3x'$ con $(3x, y) \in G$ e $(3x', y') \in G \Rightarrow y = y'$ giusto?
(quindi per aiutarmi nella dimostrazione posso usare il Lemma sull'uguaglianza di coppie?)
Quasi; non è $(3x,y)$ che sta in $G$, ma $(x,y)$. Stessa cosa per $(x',y')$.
"Luca.Lussardi":
Quasi; non è $(3x,y)$ che sta in $G$, ma $(x,y)$. Stessa cosa per $(x',y')$.
Riscrivo:
$3x = 3x'$ con $(x,y) \in G$ e $(x',y') \in G \Rightarrow y = y'$ ?
(Il lemma sull'uguaglianza di coppie puo' essermi utile nella dimostrazione?)
Grazie
Non ho capito perchè scrivi $3x=3x'$; tu devi partire con due elementi di $G$, $(x,y)$ e $(x',y')$. Ora devi dimostrare che $x=x'$ implica $y=y'$. Questa è la definizione di funzione.
"Luca.Lussardi":
Non ho capito perchè scrivi $3x=3x'$; tu devi partire con due elementi di $G$, $(x,y)$ e $(x',y')$. Ora devi dimostrare che $x=x'$ implica $y=y'$. Questa è la definizione di funzione.
Scusami è che sono traviato da quel $3x$ che si trova nel grafico $G$ dell'esercizio.
Vediamo come poter eseguire la dimostrazione:
Prendo $y = 3x$ che è l'immagine di $x$ mediante $f$. Ma $x = x'$ per ipotesi per cui $3x = y$ sarà immagine anche di x'.
Fin qui è giusto?
Stai girando attorno ad una cosa più facile da scrivere che da pensare; la cosa importante in esercizi come questi è procedere con ordine. Questo è il modo corretto di scrivere la cosa:
$(x,y),(x',y') \in G$; supponiamo $x=x'$. Per ipotesi si ha $y=3x$ e $y'=3x'$. Essendo quindi $x=x'$ si ha anche $3x=3x'$, da cui $y=y'$.
E' moralmente la stessa cosa che hai scritto tu, però scritta in modo ordinato.
$(x,y),(x',y') \in G$; supponiamo $x=x'$. Per ipotesi si ha $y=3x$ e $y'=3x'$. Essendo quindi $x=x'$ si ha anche $3x=3x'$, da cui $y=y'$.
E' moralmente la stessa cosa che hai scritto tu, però scritta in modo ordinato.
"Luca.Lussardi":
Stai girando attorno ad una cosa più facile da scrivere che da pensare; la cosa importante in esercizi come questi è procedere con ordine. Questo è il modo corretto di scrivere la cosa:
$(x,y),(x',y') \in G$; supponiamo $x=x'$. Per ipotesi si ha $y=3x$ e $y'=3x'$. Essendo quindi $x=x'$ si ha anche $3x=3x'$, da cui $y=y'$.
E' moralmente la stessa cosa che hai scritto tu, però scritta in modo ordinato.
Già ne sono consapevole, ma è questo che mi mancava, un esempio base da cui ordinarmi un po' le idee. Ti ringrazio
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