Esercizio su relazione di equivalenza
Salve a tutti, sto svolgendo un compitino di prova che potete trovare a questo link http://web.math.unifi.it/users/casolo/A1_prova_2014.pdf e vorrei sapere se sto procedendo nel modo corretto nei punti 2 e 3 del secondo esercizio.
Punto 2.
Devo mostrare che \(\displaystyle f iniettiva \Rightarrow [ f ]_\omega = \{ f \} \)
Sia f iniettiva e sia \(\displaystyle g \in A : f \omega g \)
Allora \(\displaystyle \{ f(0), ... , f(n) \} = \{ g(0), ... , g(n) \} \forall n \in N \)
Per n = 0, poiché vale la relazione sopra, si ha che \(\displaystyle \{ f(0) \} = \{ g(0) \} \) ovvero \(\displaystyle f(0) = g(0) \)
Mostriamo che, se f è iniettiva, g è in relazione con f e \(\displaystyle f( i ) = g( i ) \forall i <= n \in N \) allora anche \(\displaystyle f( n + 1 ) = g( n + 1 ) \). Supponiamo che per un certo n valga \(\displaystyle f( i ) = g( i ) \forall i <= n \in N \) poiché deve valere \(\displaystyle \{ f(0), ... , f(n+1) \} = \{ g(0), ... , g(n+1) \} \) e poiché f è iniettiva allora \(\displaystyle f( n + 1 ) \neq f( i ) = g( i ) \forall i <= n \) perciò si ha che \(\displaystyle f( n + 1 ) = g( n + 1) \) allora , poiché f(0) = g(0) si ha che g = f
Punto 3.
Se quella data è una buona definizione deve valere \(\displaystyle g \in [ f ]_\omega \Rightarrow g(2) = f(2) \)
Supponiamo che \(\displaystyle f( 2 ) = k \in N \) allora, poiché \(\displaystyle f \omega g \) deve valere:
\(\displaystyle \{ f(0), f(1), k \} = \{ g(0), g(1), g(2) \} \) inoltre con considerazioni analoghe al punto precedente si ricava che g(0) = f(0). Se \(\displaystyle f( 1 ) \neq f( 0 ) \) essendo g in relazione con f si ha che \(\displaystyle g( 1 ) = f( 1 ) \). Supponiamo adesso che \(\displaystyle k = f( 0 ) \) allora se \(\displaystyle g( 2 ) = g( 1 ) \) continua a valere la relazione ma si ha che \(\displaystyle g( 2 ) \neq f( 2 ) \) perciò quella data non è una buona definizione.
Punto 2.
Devo mostrare che \(\displaystyle f iniettiva \Rightarrow [ f ]_\omega = \{ f \} \)
Sia f iniettiva e sia \(\displaystyle g \in A : f \omega g \)
Allora \(\displaystyle \{ f(0), ... , f(n) \} = \{ g(0), ... , g(n) \} \forall n \in N \)
Per n = 0, poiché vale la relazione sopra, si ha che \(\displaystyle \{ f(0) \} = \{ g(0) \} \) ovvero \(\displaystyle f(0) = g(0) \)
Mostriamo che, se f è iniettiva, g è in relazione con f e \(\displaystyle f( i ) = g( i ) \forall i <= n \in N \) allora anche \(\displaystyle f( n + 1 ) = g( n + 1 ) \). Supponiamo che per un certo n valga \(\displaystyle f( i ) = g( i ) \forall i <= n \in N \) poiché deve valere \(\displaystyle \{ f(0), ... , f(n+1) \} = \{ g(0), ... , g(n+1) \} \) e poiché f è iniettiva allora \(\displaystyle f( n + 1 ) \neq f( i ) = g( i ) \forall i <= n \) perciò si ha che \(\displaystyle f( n + 1 ) = g( n + 1) \) allora , poiché f(0) = g(0) si ha che g = f
Punto 3.
Se quella data è una buona definizione deve valere \(\displaystyle g \in [ f ]_\omega \Rightarrow g(2) = f(2) \)
Supponiamo che \(\displaystyle f( 2 ) = k \in N \) allora, poiché \(\displaystyle f \omega g \) deve valere:
\(\displaystyle \{ f(0), f(1), k \} = \{ g(0), g(1), g(2) \} \) inoltre con considerazioni analoghe al punto precedente si ricava che g(0) = f(0). Se \(\displaystyle f( 1 ) \neq f( 0 ) \) essendo g in relazione con f si ha che \(\displaystyle g( 1 ) = f( 1 ) \). Supponiamo adesso che \(\displaystyle k = f( 0 ) \) allora se \(\displaystyle g( 2 ) = g( 1 ) \) continua a valere la relazione ma si ha che \(\displaystyle g( 2 ) \neq f( 2 ) \) perciò quella data non è una buona definizione.
Risposte
Tutto corretto, solo una cosa: in generale e' buona norma, quando neghi un enunciato (parlo del punto 3), esibire anche un controesempio concreto, anche per conferma del giusto ragionamento.
Un esempio che discende chiaramente dalle tue considerazioni e' per esempio questo:
Ciao e buon compitino!
Un esempio che discende chiaramente dalle tue considerazioni e' per esempio questo:
Ciao e buon compitino!
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