Esercizio su Quozienti

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L'esercizio è il seguente:

1 ) Si dica se il seguente anello R è un campo e, in caso di risposta negativa, si determinino i suoi ideali massimali.

$ R = \frac{Q[x]}{(x^3-3x+2)}$

Io ho fatto così:

Poiché $Q$ è un campo allora $R$ è un campo se e solo se $(x^3-3x+2)$ è irriducibile, ma questo polinomio si scompone come $ (x+2)(x-1)^2$ dunque $R$ non è un campo.

Poiché $Q$ è un campo e $(f) = (x^3-3x+2)$ è un ideale proprio si ha che gli elementi di $R$ si possono scrivere in modo unico come $ a_2 x^2 + a_1 x + a_0 + ( f ) $

Osservo che $( a_0 + ( f ) ) = R$ infatti $ \forall a_0 \in Q-\{0\} $ si ha $(a_0 + ( f ) ) ( a_0^{-1} + ( f ) = 1 + ( f ) $ dunque l'ideale è improprio.

Considero dunque $ ( x + ( f ) ) $ ed osservo che, per le proprietà degli ideali:

$ ( a_2 x + ( f ) ) ( x + ( f ) ) = a_2 x^2 + ( f ) \in ( x + ( f ) ) $
$ ( a_1 + ( f ) )( x + ( f ) ) = a_1x + ( f ) \in (x + ( f )) $

Dunque $ ( x + ( f ) ) $ è un ideale proprio e contiene TUTTI gli altri ideali propri di $ R $ perciò è l'unico massimale.

2) Si dica se esistono elementi $ 0 \ne a \in R $ tali che $ a^2 = 0_R $

Poiché per quanto detto prima gli elementi di $R$ si scrivono in modo unico come $ a_2 x^2 + a_1 x + a_0 + ( f ) $ ci chiediamo se esiste una scrittura tale che:

$( a_2 x^2 + a_1 x + a_0 + ( f ) )( a_2 x^2 + a_1 x + a_0 + ( f ) ) = ( f )$ ovvero se $ (a_2 x^2 + a_1 x + a_0 ) ^2 \in ( f ) $

Per come è decomposto $ f $ e per la restrizione sul grado di $ a$ ( $deg a = 2$ ) si ha che gli unici due elementi possibili sono $ ( x - 1 ) ^2$ e $(x+2)(x-1) $

E' corretto lo svolgimento? Grazie in anticipo

[Studente Anonimo]

Il punto 1) non l'ho capito, in generale gli ideali massimali di [tex]K[X]/(P(X))[/tex] ([tex]K[/tex] è un campo) sono quelli generati dai fattori irriducibili di [tex]P(X)[/tex] (per il teorema di corrispondenza) infatti corrispondono agli ideali massimali di [tex]K[X][/tex] che contengono [tex]P(X)[/tex] (confronta con questo). Sul punto 2 non mi sembra che [tex](x-1)^2[/tex] al quadrato faccia zero, direi che l'unico che trovi è [tex](x+2)(x-1)[/tex]. In generale in [tex]K[X]/(P(X))[/tex], si tratta dei polinomi [tex]f(x)[/tex] tali che [tex]f(x)^2[/tex] è divisibile per [tex]P(X)[/tex].

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