Esercizio su proprietà di funzioni.
Buongiorno, ho il seguente esercizio riguardante le proprietà delle funzioni, ossia
sia $f:QQ to QQ $ definità ponendo
1) verificare che è biettiva
2) determinare la sua inversa
3) determinare l'insieme $f(NN_d)$
Ora per rispondere alla 1) procedo cosi
Si hanno due casi
a) $y=0$
b) $y ne 0$
per il primo caso $y=0$ si ha $f^(-1)({0})=-1$ quindi $|f^(-1)({0})|=1$;
per il secono caso $y ne 0$ si ha $f^(-1)({y})={x in QQ : f(x)=y}={x in QQ : y=2/(x+1)}={x= (1-y)/y}$
a questo punto mi blocco, cioè "si vede" che ha cardinalità uguale a 1, però non riesco a dimostrarlo... come posso procedere ?
sia $f:QQ to QQ $ definità ponendo
\(\displaystyle f(x)=\begin{cases} f(-1)=0 \\ f(x)=\tfrac{2}{x+1} \ \qquad \forall x \in \mathbb{Q-({-1})} \\ \end{cases} \)
1) verificare che è biettiva
2) determinare la sua inversa
3) determinare l'insieme $f(NN_d)$
Ora per rispondere alla 1) procedo cosi
$ *** f$ è biettiva se e solo $|f^(-1)({y})|=1$
Si hanno due casi
a) $y=0$
b) $y ne 0$
per il primo caso $y=0$ si ha $f^(-1)({0})=-1$ quindi $|f^(-1)({0})|=1$;
per il secono caso $y ne 0$ si ha $f^(-1)({y})={x in QQ : f(x)=y}={x in QQ : y=2/(x+1)}={x= (1-y)/y}$
a questo punto mi blocco, cioè "si vede" che ha cardinalità uguale a 1, però non riesco a dimostrarlo... come posso procedere ?
Risposte
Fondamentalmente hai provato la suriettività, devi provare che è iniettiva (che è equivalente a richiedere che le fibre $f^-1(y)$ abbiano cardinalità 1).
"Reyzet":
devi provare che è iniettiva (che è equivalente a richiedere che le fibre $f^-1(y)$ abbiano cardinalità 1).
si proprio questo voglio provare, ma non so come procedere, cioè adesso ho determinato questo insieme $f^(-1)({y})=...=...={x=(1-y)/y}={(1-y)/y}$ devo far vedere che abbia cardinalità pari a uno.
Quest'ultimo ha cardinalità pari a uno se prendo il singleton di ${y}$ ma non so se dire cosi è formalmente corretto
Scusa, ma cosa contiene l’insieme $f^(-1)(\{y\})$?
L’hai calcolato, quindi…
L’hai calcolato, quindi…
Ciao gugo82, grazie per la risposta.
Contiene l'elemento $x' in QQ \:\ x'=(1-y)/y.$ Il problema è più di forma che di sostanza, cioè mi spiego meglio, ho determinato l'insieme $I=f^(-1)({y})$, posso dire che l'insieme l'insieme $I$ è costituito da un solo elemento $x' in QQ$, perchè sto considerando solo il singleton di ${y}$.
Il problema che non riesco a formalizzare, tutto quà, spero che si sono fatto capire.
Ciao
Contiene l'elemento $x' in QQ \:\ x'=(1-y)/y.$ Il problema è più di forma che di sostanza, cioè mi spiego meglio, ho determinato l'insieme $I=f^(-1)({y})$, posso dire che l'insieme l'insieme $I$ è costituito da un solo elemento $x' in QQ$, perchè sto considerando solo il singleton di ${y}$.
Il problema che non riesco a formalizzare, tutto quà, spero che si sono fatto capire.
Ciao
Fissato \(y\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\), \(\displaystyle\frac{1 - y}{y}\) è un numero reale ben determinato.
Comunque siano \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\setminus \{-1\}\) tali che \(\displaystyle\frac{2}{x_1+1} = \frac{2}{x_2+1}\) allora
\[\begin{align*} \frac{2}{x_1+1} &= \frac{2}{x_2+1}\\
2(x_2+1) &= 2(x_1+1)\\
x_2 &= x_1
\end{align*}\]
Dubbi?
Comunque siano \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\setminus \{-1\}\) tali che \(\displaystyle\frac{2}{x_1+1} = \frac{2}{x_2+1}\) allora
\[\begin{align*} \frac{2}{x_1+1} &= \frac{2}{x_2+1}\\
2(x_2+1) &= 2(x_1+1)\\
x_2 &= x_1
\end{align*}\]
Dubbi?
Grazie vict85,
quindi, basta dire semplicimente quello che hai scritto tu, cioè
per essere formalmente corretti ?
Inoltre
si quì hai applicato la definizione di funzione iniettiva, me ne sono accorto in corso d'opera che si poteva procedere anche in questa maniera, ovviamente più facile
quindi, basta dire semplicimente quello che hai scritto tu, cioè
"vict85":
Fissato \( y\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \), \( \displaystyle\frac{1 - y}{y} \) è un numero reale ben determinato.
per essere formalmente corretti ?
Inoltre
"vict85":
Comunque siano \( x_1, x_2 \in \mathbb{R}\setminus \{-1\} \) tali che \( \displaystyle\frac{2}{x_1+1} = \frac{2}{x_2+1} \) allora
\[ \begin{align*} \frac{2}{x_1+1} &= \frac{2}{x_2+1}\\ 2(x_2+1) &= 2(x_1+1)\\ x_2 &= x_1 \end{align*} \]
Dubbi?
si quì hai applicato la definizione di funzione iniettiva, me ne sono accorto in corso d'opera che si poteva procedere anche in questa maniera, ovviamente più facile
Dicevo, cosa contiene l’insieme $f^(-1)(\{y\})$?
Per definizione, contiene le soluzioni dell’equazione $f(x)=y$.
Hai risolto l’equazione $f(x)=y$ e quante soluzioni hai trovato?
Una.
Dunque, quanti elementi ha $f^(-1)(\{y\})$?
Chissà…
Per definizione, contiene le soluzioni dell’equazione $f(x)=y$.
Hai risolto l’equazione $f(x)=y$ e quante soluzioni hai trovato?
Una.
Dunque, quanti elementi ha $f^(-1)(\{y\})$?
Chissà…
Tutto chiaro, siete stati d'aiuto..grazie mille.
Domani continuerò la parte rimasta...anche se già l'ho fatta
Buona serata.
Domani continuerò la parte rimasta...anche se già l'ho fatta
Buona serata.
Quando hai a che fare con funzioni i cui dominio e codominio sono insiemi numerici,spesso, il modo più rapido ed efficace per dimostrare la biettività, consiste nel verificare che l'equazione
$f(x)=y$
(nell'incognita x appartenente al dominio, e nel parametro y appartenente al codominio), ha una ed una sola soluzione (in matematica, tale locuzione, indica che l'oggetto in questione deve esistere ed essere unico).
Nel tuo caso specifico, l'equazione $f(x)=y$ , se $y=0$, è banalmente risolta per $x=-1$. Se,invece, $y!=0$, si può ovviamente supporre $x!=-1$; in tal caso l'equazione è equivalente a
$2/(x+1)=y<=> x=(2-y)/y$.
Poichè siamo nell'ipotesi in cui $x in QQ-{-1}$, va verificato che $(2-y)/y!=-1$, ma ciò è equivalente a $2!=0$, per cui la soluzione trovata è accettabile.
Per quanto riguarda l'inversa $f^-1:QQ->QQ$ , essa è definita ponendo:
$f^-1(0)=-1$, $f^-1(x)=(2-x)/x$ se $x in QQ-{0}$
Sia $x in QQ$. Allora, si può porre $x=m/n$ con $m,n inZZ, n>=1$, e si ha
$x in NN_d<=>n|m , m>=nd$ (in particolare, si osservi che $x!=-1$). Allora
$f(NN_d)={(2n)/(m+n): m,n inZZ,n>=1,n|m,m>=nd}$
$f(x)=y$
(nell'incognita x appartenente al dominio, e nel parametro y appartenente al codominio), ha una ed una sola soluzione (in matematica, tale locuzione, indica che l'oggetto in questione deve esistere ed essere unico).
Nel tuo caso specifico, l'equazione $f(x)=y$ , se $y=0$, è banalmente risolta per $x=-1$. Se,invece, $y!=0$, si può ovviamente supporre $x!=-1$; in tal caso l'equazione è equivalente a
$2/(x+1)=y<=> x=(2-y)/y$.
Poichè siamo nell'ipotesi in cui $x in QQ-{-1}$, va verificato che $(2-y)/y!=-1$, ma ciò è equivalente a $2!=0$, per cui la soluzione trovata è accettabile.
Per quanto riguarda l'inversa $f^-1:QQ->QQ$ , essa è definita ponendo:
$f^-1(0)=-1$, $f^-1(x)=(2-x)/x$ se $x in QQ-{0}$
Sia $x in QQ$. Allora, si può porre $x=m/n$ con $m,n inZZ, n>=1$, e si ha
$x in NN_d<=>n|m , m>=nd$ (in particolare, si osservi che $x!=-1$). Allora
$f(NN_d)={(2n)/(m+n): m,n inZZ,n>=1,n|m,m>=nd}$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo