Esercizio su polinomio scomposizione con numeri primi

[giulio013]

Per ogni primo p si considerino i polinomi $f_(p) = 2x^(3) + 3x + 1 $ e $ g_(p) = 3x^(2) - 4x + 2$
(i) Per quali primi p il polinomio $f_p g_p$ è monico?
(ii) Detto q il massimo tale primo, scrivere $f_pg_p$ come prodotto di polinomi irriducibili in $Z_q[x]$

(i) Non ho proprio idea di quello che si debba fare, potreste darmi qualche dritta? Ho cercato su internet ma nulla di concreto.
(ii) Bisogna vedere quali sono i divisori del polinomio e dividerlo con ruffini? Il primo polinomio ha come divisore il $-1$ mentre il secondo è irriducibile?

[caulacau]

Calcola $f_2g_2$ e $f_3g_3$; questi sono i casi in cui $fp, g_p$ cambiano forma, perché i loro coefficienti direttori si possono annullare. Se poi \(p>3\) è un primo, devi trovare per quali primi si ha che \(6\equiv 1\pmod{p}\), la qual cosa non mi sembra impossibile da risolvere.

[giulio013]

Purtroppo non c'ho capito un granché, $f_pg_p$ non so cosa significhi , né perché se $p > 3$ devo trovare che i primi si ha che vale quell'equazione congruenziale (da dove spunta il 6)? Sul libro non ho trovato l'argomento, tu mica potresti reindirizzarmi a qualche link o darmi gli argomenti così da leggere e vedere la tua risposta in seguito?

[caulacau]

"giulio0":$f_pg_p$ non so cosa significhi

I polinomi formano un anello.

perché se $p > 3$ devo trovare che i primi si ha che vale quell'equazione congruenziale (da dove spunta il 6)?

\(3\cdot 2=6\).

[giulio013]

$3 * 2 = 6$ immagino sia dato dai coefficienti con la variabile di grado massimo... quindi dovrei trovare per quali primi p l'equazione congruenziale ammette valore? Perché se così fosse allora ammette soluzione per infiniti numeri.